Phasengeschwindigkeit in der einatomigen Kette

Question

Bei Betrachtung einer eindimensionalen einatomigen Kette von Atomen (identische Massen $m$ & Federkonstante $\kappa$) findet man folgende Dispersion: $$ \omega(k) = \sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, ,$$

welches ist $\frac{2\mathrm{\pi}}{a}$-periodisch. Also Wellenvektoren höher als$\mathrm{\pi}/a$ Geben Sie kein neues körperliches Verhalten an.

Bei der Berechnung der Phasengeschwindigkeit findet man jedoch: $$ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{k}\sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, .$$Dies bedeutet, dass die Phasengeschwindigkeit wie ein Sinc verläuft, der nicht periodisch ist; Wellenvektoren außerhalb der ersten Brioullin-Zone ergeben eine viel niedrigere Phasengeschwindigkeit.

Wie ist das möglich? Gibt es einen guten Grund, nur die erste Brioullin-Zone für die Phasengeschwindigkeit zu berücksichtigen? Oder gibt es andere Fehler bei meiner Berechnung?

Answer 1

Die Phasengeschwindigkeit ist außerhalb der ersten Brillouin-Zone irgendwie bedeutungslos. Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der "Scheitel" einer Welle bewegt, aber außerhalb der ersten Brillouin-Zone ist die Wellenlänge kleiner als der Abstand zwischen Atomen, sodass es keine wirklichen Scheitel gibt. Die meisten "Kämme" treten in den Lücken zwischen den Atomen auf, in denen es nichts zu verschieben gibt, so dass die Kämme eine Art mathematisches Artefakt sind.

Während Sie eine stetige Funktion für die Verschiebung der Atome aus ihrer Gleichgewichtsposition definieren können $u\left(x, t\right)$Für die Welle bedeutet das nicht, dass die Welle wirklich kontinuierlich ist. Die Welle hat nur eine bedeutende Verschiebung an der$x$Positionen, an denen es Atome gibt. Ein Teil der Intuition, die von Wellen in einem kontinuierlichen Medium kommt, trifft also nicht wirklich zu.