Produkt der Durchschnittswerte

Question

Lassen $(x_1,...,x_n)$ und $(y_1,...,y_n)$ seien Sie zwei verschiedene Tupel positiver Realitäten, so dass $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. Ist es wahr dass$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Ich denke, dies sollte sich aus einem Konkavitätsargument ergeben, vielleicht über die Funktion $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, aber nicht sicher wie genau.

Answer 1

Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel besagt dies$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ zum $x, y \ge 0$, mit Gleichheit genau dann, wenn $x=y$.

Es folgt dem $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ mit Gleichheit genau dann, wenn $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Wenn Sie ein Konkavitätsargument verwenden möchten, ziehen Sie in Betracht $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ ist konkav als Summe konkaver Funktionen.

Answer 2

Vom Inhaber $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$