Pseudoinverse eines Quantenzustands

Question

Die max-relative Entropie zwischen zwei Zuständen ist definiert als $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, wo $\lambda$ ist die kleinste reelle Zahl, die erfüllt $\rho\leq \lambda\sigma$, wo $A\leq B$ wird verwendet, um das zu bezeichnen $B-A$ ist positiv semidefinit.

Eine alternative Möglichkeit, die maximale relative Entropie auszudrücken, ist

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

wo $\|\cdot\|_\infty$ist die Operatornorm, die im Wesentlichen den größten Eigenwert auswählt. Ich sehe, dass die wesentliche Idee ist

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

Das kleinstmögliche wählen $\lambda$ führt zu Gleichheit und somit erholt man sich $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ Hier entlang.

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Das habe ich angenommen $\sigma^{-1}$ hier wird erhalten von

1. Diagonalisierung $\sigma$
2. Nehmen Sie den Kehrwert aller Nicht-Null-Eigenwerte und lassen Sie die Null-Eigenwerte unverändert
3. Undiagonalisierung $\sigma$ nochmal.

Dies macht jedoch für mich keinen Sinn, da bei der Unterstützung von $\rho$ ist größer als die Unterstützung von $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$. Es sieht jedoch so aus$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ kann niemals unendlich sein.

Wie erhält man also $\sigma^{-1}$?

Answer 1

Es gibt ein Problem in der Ableitung, die Sie seitdem vorgestellt haben $\rho \leq \lambda \sigma$ ist nur gleichbedeutend mit $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ wann $\sigma$ ist invertierbar (oder zumindest wenn $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, damit Sie den Platz auf beschränken können $\mathrm{supp}(\sigma)$anstelle des gesamten Hilbert-Raums). Die Eigenschaft ist sonst nicht wahr: zB berücksichtigen$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ als Gegenbeispiel.

Alles in allem nur unter der Bedingung $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ ist zufrieden können wir daraus schließen $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$.