restlich endliches halbdirektes Produkt

Question

Problem

Lassen $G=N \rtimes_{\phi} Q$ wo $N\lhd G$ endlich erzeugt und restlich endlich und $Q$restlich endlich. Zeige, dass$G$ ist restlich endlich

Versuch

ich weiß das

• $N$ restlich endlich und fg impliziert $N$ ist Hopfian

• $N$ restlich endlich und fg impliziert $Aut(N)$ ist restlich endlich.

Wenn $1\not= nq \in G$ mit $q\not=1$ dann $nq\mapsto qN \not=1$ unter der Projektion $G\to G/N\cong Q$ und dann $\exists K$ endlich und $t: Q\to K$ st $t(q)\not=1$.

Daher bleibt es zu behandeln, wo $1\not=nq\in G$ und $q=1$ dh $qn=n\in N$. ich weiß das$\exists K$ endlich und $t:N\to K$ st $t(n)\not=1$ aber kann ich diesen Homomorphismus durchrechnen? $G$ in irgendeiner Weise?

Ich weiß, dass der Beweis in "Über Homomorphismen auf endliche Gruppen (1958)" von Mal'cev ist, aber ich kann den Artikel nicht finden.

Answer 1

Schon seit $N$ wird endlich erzeugt und $K$ ist endlich, es gibt nur endlich viele Gruppenhomomorphismen $N \to K$.

Also die Kreuzung $L$ ihrer Kernel hat einen endlichen Index in $N$und es ist charakteristisch in $N$ und daher normal in $G$. Dann$LQ$ hat endlichen Index in $G$ und enthält nicht $N$.