Schließung in der Schematheorie

Question

Lassen $X$ ein Schema sein und $(U_i)_{i\in I}$ eine offene Abdeckung,

(1) Gegeben eine Teilmenge $Z\subset X$, warum tut $Z\cap U_i$ ist für alle geschlossen $i$ impliziert, dass $Z$ ist geschlossen?

(2) Lassen Sie $A$sei ein Ring. Gegeben ein Morphismus-Schema$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ so dass $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ ist für alle affinen geschlossen $A$ Schemata $Y$bedeutet dies, dass $f$ ist universell geschlossen?

Answer 1

(1) Weil dann

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

und seit $U_i\cap Z$ ist geschlossen in $U_i$ wir sehen das $U_i-(U_i\cap Z)$ ist offen in $U_i$ und damit offen in $X$.

(2) Ja, bis 1). Um das zu überprüfen$f$ ist universell geschlossen lassen $Y$ sei einer $A$-planen. Das müssen wir zeigen$f(X_Y)$ ist geschlossen in $Y$. Aber lass$Y=\bigcup_i U_i$ für affine offene Teilschemata $U_i$ von $Y$. Um 1) genügt es, das zu sehen$f(X_Y)\cap U_i$ ist für alle geschlossen $i$. Beachten Sie jedoch, dass$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. Dies folgt in der Tat aus dem kartesischen Diagramm

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

Es reicht also aus, das zu zeigen $f(X_{U_i})$ist geschlossen. Aber seit$U_i$ ist eine Affine $A$-Schema wissen wir dies durch Annahme.

Answer 2

Endliche Morphismen von Schemata sind geschlossen. . Schauen Sie sich die Antwort hier für den ersten Teil an.

Lassen $Y$ Bohne $A$-planen. Sagen$Y=\bigcup_i Y_i$ wo $Y_i \subset Y$sind offene affine Teilschemata. Soll zeigen$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$ist eine geschlossene Karte. Lassen$C\subset X\times_A Y$. einstellen$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. Dann$C_i$ ist geschlossen in $X\times_A Y_i$ Das ist ein offenes Teilschema von $X\times_A Y$. Wir haben das kommutative Diagramm$\require{AMScd}$ \ begin {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> Y \ end {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ das ist geschlossen in $Y_i$durch Annahme. Also bis zum vorherigen Teil,$f(C)$ ist geschlossen in $Y$. So$f$ ist universell geschlossen.