Sylvester Problem.

Question

Eine endliche Menge $S$von Punkten in einer Ebene hat die Eigenschaft, dass eine Linie, die durch zwei dieser Punkte verläuft, durch einen dritten Punkt verläuft. Beweisen Sie, dass alle Punkte in$S$ sind kollinear.

Ich habe einen Beweis für dieses Problem nach dem Extremprinzip gesehen.

Angenommen, die Punkte sind nicht kollinear. Unter Paaren$(p,L)$ bestehend aus einer Linie $L$ und einen Punkt, der nicht auf dieser Linie liegt, wählen wir einen, der die Entfernung minimiert $d$ von $p$ zu $L$. Lassen$f$ sei der Fuß der Senkrechten von $p$ zu $L$. Es gibt (unter der Annahme) mindestens drei Punkte$a,b,c$ auf $L$. Dies sagen zwei davon$a$ und $b$ sind auf der gleichen Seite von $f$. Lassen$b $ näher sein $f$ als $a$. Dann die Entfernung von$b$ zu linieren $ap$ ist weniger als $d$. Widerspruch.

Meine Frage ist im letzten Teil. Ich verstehe nicht wie "Dann die Entfernung von$b$ zu linieren $ap$ ist weniger als $d$. "erzeugt einen Widerspruch. Kann jemand erklären?

Answer 1

Zu Beginn des Beweises haben wir gewählt $(p,L)$ so dass die Entfernung $d$ zwischen $p$ und $L$ ist das Minimum unter allen Linien und Punkten, die nicht auf dieser Linie liegen.

Der Widerspruch entsteht, als wir das Paar produzierten $(b, ap)$ mit einer Entfernung von weniger als $d$, was der Minimalitätsbedingung auf widerspricht $(p,L)$.

"Geometrie" könnte ein Tag sein.

EDIT: warum $b$ ist näher an $ap$ als $p$ ist zu $L$Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck $\triangle afp$.

$b$ ist auf der Seite $af$. Sein Abstand von der Linie$ap$ darf die Höhe von nicht überschreiten $\triangle afp$ mit Basis $ap$.

Schon seit $ap$ ist die Hypothenuse, $ap > af$.

In Anbetracht des Gebiets von $\triangle afp$sehen wir, dass die Höhe von $\triangle afp$ mit Basis $ap$ ist kleiner als die Höhe von $\triangle afp$ mit Basis $af$, welches ist $fp = d$.

Dies ergibt das gewünschte Ergebnis: den Abstand von $b$ von $ap$ ist weniger als $d$.

Answer 2

Für eine visuelle Erklärung, warum die Entfernung von $B$ zu $AP$ist kleiner, hier ist eine Illustration. Ich habe alle Punktbeschriftungen groß geschrieben und hinzugefügt$G$ und $H$, die die Füße der Senkrechten von sind $B$ und $F$ zu linieren $AP$, beziehungsweise. Es sollte klar sein, dass$PF > FH > BG$. Der formale Beweis verwendet ähnliche Dreiecke und Proportionen.