Überprüfung der Eigenschaften von Tensorprodukten

Question

Ich arbeite mit Tensorprodukten über Modulen mit der folgenden Definition:

"Lassen $R$ sei ein Ring und lass $A_R,_RB$Module sein. Lassen$F$ bezeichnen die freie abelsche Gruppe auf $A \times B$ und lass $K$ bezeichnen die Untergruppe von $F$ das wird von den Elementen erzeugt $e_{(a'+a'',b)},-e_{(a',b)}-e_{(a'',b)}, e_{(a,b'+b'')}-e_{(a,b')}-e_{(a,b'')},e_{(ar,b)}-e_{(a,rb)}$, wo $a,a',a'' \in A, b,b',b'' \in B, r \in R$. Die Quotientengruppe$F/K$ heißt das Tensorprodukt von $A$ und $B$bezeichnet $A \otimes_R B$. Für jeden$(a,b) \in A \times B$, der Coset $e_{(a,b)}+K$ wird bezeichnet $a \otimes b$. "

Ich versuche folgende Aussage zu beweisen:

"Wenn $R$ ist ein Ring und $A_R, _RB$ sind Module mit $r \in R$, $a,a',a'' \in A$, $b,b'b,'' \in B$Zeigen Sie dann, dass Folgendes zutrifft:
(1)$(a' + a'') \otimes b = (a' \otimes b) + (a'' \otimes b)$;;
(2)$a \otimes (b'+b'')=(a \otimes b')+(a \otimes b'')$;;
(3)$ar \otimes b=a \otimes rb$;;
(4)$0_A \otimes b = a \otimes 0_B = 0_A \otimes 0_B = 0_{A \otimes_R B}$. "

Kann ich dies ohne Verwendung der Basiselemente beweisen? Ich habe einen Beweis mit den Basiselementen und Cosets, bin mir aber nicht sicher, ob ich das tun soll.

Answer 1

Als Beispiel sagt (1) wirklich $$e_{(a'+a'',b)}+K=e_{a',b}+e_{a'',b}+K$$ (per Definition, $a'\otimes b$ ist der Coset$e_{a',b}+K$ usw.) oder gleichwertig $$e_{(a'+a'',b)}-(e_{a',b}+e_{a'',b})\in K.$$ Dies ist natürlich Teil der Definition von $K$.

Gleiches gilt für (2) und (3). Wir sehen, dass die Definition von$K$ist so eingerichtet, dass all diese funktionieren. Für (4) ist eine grundlegende Algebra erforderlich:$$0_A\otimes b=(0_A+0_A)\otimes b=(0_A\otimes b)+(0_A\otimes b)$$mit (1). Dies bedeutet, dass$0_A\otimes b$ muss das Nullelement von sein $A\otimes B$.