Übersetzungsoperator und Paritätsoperator

Question

(Dies stammt aus der Einführung in die Quantenmechanik von D. Griffiths, 3. Auflage, Aufgabe 6.18 .)

Wenn ein System eine inverse Symmetrie hat, wissen wir, dass [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ wo $\hat{\Pi}$ ist der Paritätsoperator.

Dies bedeutet, dass Eigenzustände des Paritätsoperators Eigenzustände von sind $\hat{H}$. Nämlich:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\cos(px/\hbar)$

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\sin(px/\hbar)$

Dies ist leicht zu erkennen $\hat{\Pi} f(x) =f(x) $ und $\hat{\Pi} g(x) = -g(x) $.

Das Problem besagt, dass der Übersetzungsoperator diese beiden Zustände miteinander mischt, was bedeutet, dass sie entartet sein müssen.

Frage

Zeigen Sie, dass der Übersetzungsoperator diese beiden Zustände (f und g) miteinander mischt, was bedeutet, dass sie entartet sein müssen.

Das habe ich getan:

Übersetzungsoperator: $\hat{T}u(x) = u(x-a)$
$$\hat{T}f(x)= \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\cos(pa/\hbar)\cos(px/\hbar) - \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\sin(pa/\hbar)\sin(px/\hbar) \\ = \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x). $$

Ich kann sehen, dass die Staaten gemischt sind. Aber es hat nicht die gleiche Energie wie$f(x)$ und $g(x)$. Wenn ich mache$\hat{H}\hat{T}f(x) = E_n( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )$

Der Eigenwert $E_n$wird mit einer Konstanten multipliziert. Der einzige Weg, wie das stimmt, wenn ich das sage$E_n( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) ) = E_n w(x) $.

Könnte ich nicht zeigen, dass sie entartet sind, indem ich die einfache Tatsache benutze, dass $\hat{H} f(x) = E_n f(x) $ und $\hat{H} g(x) = E_n g(x) $, weil [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ ?

Answer 1

Könnte ich nicht zeigen, dass sie entartet sind, indem ich die einfache Tatsache benutze, dass $\hat{H} f(x) = E_n f(x) $ und $\hat{H} g(x) = E_n f(x) $, weil [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ ?

Von wo ist das gekommen? $\hat{\Pi}$mischt f nicht mit g ; in der Tat hält es sie sichtbar getrennt und getrennt.

Das Problem fordert Sie auf, separat anzunehmen $E_f$ und $E_g$für f bzw. g und verwenden$$ \hat{H}(\hat{T}f(x)) = \hat{T} \hat{H} f(x) = E_f (\hat{T} f(x) ), $$ das liest sich explizit als $$ \hat{H}( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )=E_f( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )~~~\leadsto \\ - \sin(pa/\hbar)\hat{H}g(x)= - \sin(pa/\hbar) E_f~g(x),~~~~ \leadsto ~~~~E_f=E_g. $$

Answer 2

Ich verstehe die Frage nicht, aber von dem, was ich bekomme, haben Sie die folgende Erlaubnis

$P$ ist Paritätsoperator $T$ ist Übersetzungsoperator und lassen $$[T,H]=[P,H]=0$$ auch lassen

also haben wir $$T|\alpha\rangle=|\beta\rangle$$ $$P|\alpha\rangle=|\gamma\rangle$$ auch alle diese drei haben seitdem die gleiche Energie $T$ und $P$pendelt mit Hamiltonian. jetzt haben wir$$[T,P]=C$$ c ist ein Operator, der nicht wichtig ist

jetzt $$\langle\alpha| TP|\alpha\rangle\neq\langle\alpha| PT|\alpha\rangle=\langle\alpha| TP|\alpha\rangle+\langle\alpha| C|\alpha\rangle\neq1$$ so $\gamma$ $\beta$Zustände sind verschiedene Zustände mit der gleichen Energie, also hier ist deine Entartung. hier soll gezeigt werden, dass hamiltonian unterschiedliche eigenzustände mit gleicher energie hat. und Partei mit Übersetzung erzwingt es.