Unitarität und Amplituden
In Bootstrap und Amplituden: Eine Wanderung in der Landschaft der Quantenfeldtheorie gibt es nur wenige Aussagen zur analytischen Struktur von Amplituden.
Ich möchte Aussage verstehen:
In einer lokalen Theorie masseloser Skalare können sie einfache Pole haben, und der Rest eines solchen Pols ist durch Einheitlichkeit ein Produkt von Amplituden niedrigerer Punkte.
Ich verstehe diese Eigenschaft aus den Feynman-Regeln für die Amplitude auf Baumebene, habe aber keine Rolle der Einheitlichkeit erhalten .
Ich möchte verstehen, wie die Einheitlichkeit mit einem solchen Eigentum zusammenhängt. Wie werden sich Rückstände ändern, wenn wir die Einheitlichkeit verlieren?
Antworten
Unitarität ($SS^\dagger = 1$) schreibt vor, dass \ begin {Gleichung} \ label {key} TT ^ \ dagger = iTT ^ \ dagger \ end {Gleichung} für die Baumebene$2\rightarrow 2$ Streuung haben wir dann das $$ \langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle - \langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle^* = i\langle p_1,p_2|TT^\dagger|p_3,p_4\rangle. $$ Verwenden von $\langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle = (2\pi)^4\delta^{(4)}(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\mathcal{A}[12\rightarrow 34]$und Einfügen eines vollständigen Satzes von Teilchenzuständen (um auf Baumebene zu bleiben) können wir als schreiben\begin{align} 2\text{Im}(\mathcal{A}[12\rightarrow 34]) &= 2\pi\sum_k\int \frac{d^3k}{2E_k}\delta^{(4)}(p_1+p_2 - k)\mathcal{A}[12\rightarrow k]\mathcal{A}^*[k\rightarrow 34]\\ &= 2\pi\sum_k\int d^4k\delta(k^2)\delta^{(4)}(p_1+p_2 - k)\mathcal{A}[12\rightarrow k]\mathcal{A}^*[k\rightarrow 34] \end{align} Die linke Seite ist nun der Imaginärteil der 4pt-Amplitude, die wir für Zähler verwenden werden $n_i$ und Propagatoren $p_i^2 + i\epsilon$, wo $i$ kennzeichnet die Möglichkeiten, wie wir einen Partikelaustausch arrangieren können (die $s,t,u$Kanäle). Wir haben also \ begin {Gleichung} 2 \ text {Im} \ left (\ sum_k \ frac {n_k} {k ^ 2 + i \ epsilon} + \ text {contact} \ right) = 2 \ pi \ sum_k \ int d ^ 4k \ delta (k ^ 2) \ delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rightarrow 34] , \ end {Gleichung} In einer lokalen Theorie masseloser Skalare können wir den Imaginärteil des Propagators als schreiben$$ \text{Im}\left(\frac{1}{p^2 + i\epsilon}\right) = \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p^2 + i\epsilon} - \frac{1}{p^2 - i\epsilon}\right) = \frac{-\epsilon}{p^4 + \epsilon^2}. $$ Dies scheint für es verschwindet $\epsilon \rightarrow 0$Dies bedeutet nach dem optischen Theorem, dass Ihre Amplitude für reale externe Impulse Null sein muss. Dies ist jedoch irreführend und gilt nur , wenn sich der Propagator außerhalb der Shell befindet. Wenn wir die Tatsache erkennen, dass der letzte Begriff oben die entstehende Dirac-Delta-Funktion ist, lernen wir das$$ \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{-\epsilon}{p^4 + \epsilon^2} = \pi\delta(p^2). $$
Wenn wir dies einstecken, stellen wir fest, dass wir, wenn der Propagator auf die Shell geht, \ begin {Gleichung} 2 \ pi \ sum_kn_k \ delta (k ^ 2) = 2 \ pi \ sum_k \ int d ^ 4k \ delta (k ^) haben 2) \ delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rightarrow 34]. \ end {Gleichung} Oder mit anderen Worten, die Zähler der Amplituden auf Baumebene werden in zwei Amplituden niedrigerer Punkte (die Reste) zerlegt, wenn der Propagator auf die Schale geht \ begin {Gleichung} n_k = \ int d ^ 4k \ Delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rechter Pfeil k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rechter Pfeil 34] \ end {Gleichung} Wir stellen jetzt ein Hauptproblem fest: Die rechte Seite ist aufgrund der Impulserhaltung tatsächlich Null, und dies ist wahrscheinlich der Grund, warum die meisten Bücher den optischen Satz auf Baumebene nicht diskutieren. Dies liegt an der Tatsache, dass Lorentz-invariante Dreiteilchenamplituden auf der Schale aufgrund der Tatsache verschwinden, dass$p_i\cdot p_j = 0$ für alle $i,j$aufgrund der Impulserhaltung. Dies trifft jedoch nicht zu, wenn wir Spinor-Helizitätsvariablen verwenden und einen komplexen Impuls annehmen , was genau das Bootstrapping-Amplitudenprogramm tut.