$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

Betrachten Sie das folgende Fragment aus Murphys Buch "$C^*$-Algebren und Operatortheorie ":

Wie können wir erweitern $w_0$ zu einer Karte $w_1: H \to H$? Ich denke, wir verlängern zuerst$w_0$ zum Verschluss $\overline{v^*(H)}$ und definieren Sie es dann als $0$auf seinem orthogonalen Komplement. Funktioniert es?

Auch warum haben wir $u = vw_1$? Hängt dies von einer expliziten Erweiterung von ab?$w_0$ oder ist es wahr für alle begrenzten Erweiterungen von $w_0$?

Answer 1

Ja, das kannst du immer tun. Wenn Sie dies noch nie getan haben, müssen Sie zeigen, dass jeder begrenzte lineare Operator durch Kontinuität bis zum Schließen seiner Domäne erweitert werden kann. Und das, wenn Sie sich zersetzen$H=H_1\oplus H_1^\perp$ und $S,T$ sind begrenzte Operatoren auf $H_1$ und $H_1^\perp$ jeweils dann $S\oplus T$ definiert von $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ ist ein beschränkter Operator mit $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$.