Verallgemeinerter Noether-Satz

Question

Der Text, den ich lese, behauptet, dass, wenn es eine Symmetrie gibt, die durch erzeugt wird $Q$und unter dieser Transformation transformiert ein Operator durch$$f\rightarrow f +\delta f,$$ dann nach Noethers Theorem $$\delta f = i\epsilon[Q, f].$$

Dies ist jedoch nicht der Noether-Satz, an den ich gewöhnt bin, der meiner Ansicht nach dieser Aussage ähnlich ist, sondern nur für Zeitübersetzungen (mit Generator) $H$). Wie zeigt man diese Verallgemeinerung des Noether-Theorems?

Answer 1

Dies scheint nicht genau die Aussage des Noether-Theorems zu sein, sondern die Konsequenz der Liouville-Bewegungsgleichung: $$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + i \{Q, f\} $$ Wo $\{,\}$-denotes Poisson-Klammer. Normalerweise sehen Sie Hamiltonian$H$ Anstatt von $Q$. Jede Anklage kann jedoch genauso behandelt werden wie Hamiltionian. Und für kleine$\epsilon$, und $f$ nicht explizit von der Zeit abhängig, gibt es: $$ \delta f = i \epsilon \{Q, f\} $$ Wie behauptet

Answer 2

Ich denke, Sie möchten vielleicht einen Blick darauf werfen

Baez, JC (2020). Dem Satz von Noether auf den Grund gehen. arXiv-Vorabdruck arXiv: 2006.14741.

wo ich glaube, dass er eine Version von Noethers Theorem diskutiert, die so in Abschnitt 2 formuliert ist.

Auf Seite 15 wird speziell eine Version des Noether-Theorems erörtert, die als Poisson-Klammer zweier Dinge ausgedrückt wird, die Null sind. Sie haben nicht definiert$\epsilon$ oben, aber ich denke, es ist vielleicht Teil des von Ihnen verwendeten Notationskalküls (und bis jetzt weiß ich es noch nicht) und könnte dem entsprechen, was in Baez 'Artikel geschrieben steht.

Tatsächlich erinnert mich der Unterschied zwischen den beiden an etwas, das ich kürzlich bei dieser Lösung über das Denken an Ableitungen gelesen habe (die letzte Zeile direkt vor der Proof of [1] -Zeile), was den Übergang erklären könnte.