Verfolgen Sie das Ideal eines projektiven Moduls
Wolmer Vasconcelos schreibt in seiner Arbeit von 1969 "Über projektive Module endlichen Ranges"
Lassen $M$ ein Projektiv sein $R$-Modul ... Die Spur von $M$ ist definiert als das Bild der Karte $M \otimes_R \operatorname{Hom}_R(M, R) \to R$, $m \otimes f \to f(m)$;; es wird bezeichnet mit$\tau_R(M)$. Wenn$M \oplus N = F$ (kostenlos) ist klar, dass $\tau_R(M)$ ist das Ideal von $R$ generiert durch die Koordinaten aller Elemente in $M$für jede in $F$. Daraus folgt für jeden Homomorphismus$R \to S$, $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$.
Eine ähnliche Behauptung erscheint in seiner 1973 erschienenen Arbeit "Endlichkeit in projektiven Idealen":
Wir erinnern uns an den Begriff der Spur eines projektiven Moduls $E$ über dem kommutativen Ring $A$. Es ist einfach das Ideal$J(E) = J = \Sigma f(E)$ wo $f$ läuft über $\operatorname{Hom}_A(E, A)$. Gleichermaßen$J$ ist das Ideal, das durch die „Koordinaten“ aller Elemente von erzeugt wird $E$ wann immer eine Zersetzung $E \oplus G = F$(kostenlos) ist gegeben. Nach der zweiten Interpretation folgt, dass wenn$h \colon A \to B$ ist also ein Ringhomomorphismus $J(E \otimes_A B) = h(J(E)) B$.
Die erste Behauptung ist wie folgt leicht zu überprüfen (wenn auch mit einem Wechsel des freien Moduls). Wenn$F = M \oplus N$ hat eine Basis $\{ v_i \}$können wir überlegen $F' = F \oplus R$, wo $u$ ist ein Generator für $R$. Für jeden$f \colon F \to R$, $F'$ hat eine Basis bestehend aus $u$ und alles $w_i := v_i - f(v_i)u$. In Bezug auf diese Basis,$v_i = w_i + f(v_i) u$, daher die $u$-Koordinate von $v_i$ ist $f(v_i)$. Also jeder Homomorphismus$M \to R$ ist die Einschränkung einer Koordinatenfunktion auf $F'$.
Was mir nicht klar ist, ist der Grund für die zweite Behauptung, dass $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$. Die aufnahme$\tau_R(M) S \subset \tau_S(M \otimes_R S)$ ist offensichtlich, also lassen Sie mich auf den anderen konzentrieren.
Man kann eine Zerlegung wählen $M \oplus N = F$ (kostenlos), damit $M \otimes_R S \oplus N \otimes_R S = F \otimes_R S =: F_S$, das ist frei vorbei $S$. Bis zum Hinzufügen eines$S$ summand kann man auch davon ausgehen, dass jeder $f \colon M \otimes_R S \to S$ ist die Einschränkung einer Koordinatenfunktion auf $F_S$. Aber die Koordinaten weiter$F_S$hängen von der Wahl einer Basis ab. Wenn die Basis von a erhalten wird$R$-Grundlage von $F$ist der Anspruch klar. Aber$F_S$ könnte viele Möglichkeiten haben $S$-Basen, die nicht abgeleitet sind von $R$.
Ich glaube, ich vermisse etwas ziemlich Triviales, aber ich kann es momentan nicht sehen, also würde ich hier lieber fragen.
Antworten
Die Verwirrung ist sprachlich, wie in den Kommentaren festgestellt.
Lemma. Lassen$M$ ein Projektiv sein $R$-Modul und nehmen an $M \oplus N \cong F$ ist kostenlos auf einer Basis $\mathcal B$. Zum$b \in \mathcal B$, schreiben $\varepsilon_b \colon F \to R$ für das "duale" Element nehmen $b$ zu $1$ und alle anderen Basiselemente zu $0$. Dann$\tau(M)$ ist das Ideal von $\varepsilon_b(m)$ zum $b \in \mathcal B$ und $m \in M$.
(Durch Missbrauch der Notation schreiben wir $\varepsilon_b(m)$ für was richtig bezeichnet werden sollte $\varepsilon_b(m,0)$.)
Beweis. Schon seit$\varepsilon_b|_M$ ist ein Homomorphismus $M \to R$haben wir eindeutig $\varepsilon_b(m) \in \tau(M)$ für alle $b \in \mathcal B$ und alles $m \in M$. Wir müssen zeigen, dass sie erzeugen. In der Definition von$\tau(M)$können wir ersetzen $\operatorname{Hom}(M,R)$ durch $R^{\mathcal B} = \operatorname{Hom}(F,R) \twoheadrightarrow \operatorname{Hom}(M,R)$. Elemente können geschrieben werden als$f = (f_b)_{b \in \mathcal B}$, wo $f_b = f(b)$sind Konstanten. Jetzt ist die Idee das$f(m)$ hängt nur von den Koordinaten von ab $f$ wo $m$ wird unterstützt:
Lassen $f = (f_b)_{b \in \mathcal B} \in R^{\mathcal B}$ und $m = \sum_{b \in \mathcal B'} a_b b \in M$ für eine endliche Teilmenge $\mathcal B' \subseteq \mathcal B$. Schreiben$f_{\mathcal B'}$ für die Funktion deren $\mathcal B'$-Koordinaten stimmen zu $f$und deren andere Koordinaten verschwinden. Dann$$f(m) = \sum_{b \in \mathcal B'} f(a_b b) = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot a_b = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot \varepsilon_b(m),$$ so $f(m)$ wird als eine Kombination der ausgedrückt $\varepsilon_b(m)$. $\square$
Logische Folge. Lassen$M$ ein Projektiv sein $R$-Modul und lassen $R \to S$sei ein Ringhomomorphismus. Dann $$\tau\left(M \underset R\otimes S\right) = \tau(M)S.$$
Beweis. Schreiben$M \oplus N \cong F$ für einige $R$-Modul $N$ und eine kostenlose $R$-Modul $F$. Dann$$\left(M \underset R\otimes S\right) \oplus \left(N \underset R\otimes S\right) \cong F \underset R\otimes S.$$ Wenn $F$ hat Basis $\mathcal B$, dann die Elemente $b \otimes 1$ bilden eine Basis von $F \otimes_R S$. Außerdem,$M \otimes_R S$ wird durch Elemente des Formulars generiert $m \otimes 1$. Deshalb,$\tau(M \otimes_R S)$ ist genau das Ideal von $\varepsilon_{b \otimes 1}(m \otimes 1)$, welches ist $\tau(M)S$. $\square$