Volumen einer Prismenableitung

Question

Ich habe mich gefragt, ob es eine Möglichkeit gibt, zu formalisieren, wie ich die Formel für das Volumen eines Prismas rechtfertige.

Für ein gegebenes Prisma ist sein Volumen gegeben durch die Fläche seines Querschnitts multipliziert mit der Länge des Prismas.

Ich sehe dies intuitiv, da man sich vorstellen kann, dass das Prisma über seine gesamte Länge aus unendlich vielen kleinen Scheiben des Querschnitts besteht.

Ich frage mich jedoch, ob es eine Möglichkeit gibt, dies zu formulieren?

Außerdem soll ein Zylinder kein Prisma sein . Die Formel für sein Volumen ($\pi r^2 \times h$) ist identische Fläche des Querschnitts multipliziert mit der Länge. Gibt es dafür einen Grund?

Answer 1

1. Überzeugen Sie sich selbst von dem Volumen einer Box mit Seitenwänden$a,b,c$ist$abc$.
2. Dann denken Sie daran, ein Quadrat der Größe zu haben$1$und Bereich$1 \cdot 1$verwandeln sich in eine Kiste, indem Sie sie über die Höhe verlängern$h$. Die resultierende Box sollte Volumen haben$1\cdot 1 \cdot h$, unter Verwendung von (1) oben.
3. Denken Sie nun daran, das ursprüngliche Quadrat neu zu skalieren, damit es auf die Basis des Prismas passt. Sie müssen so skalieren, dass die resultierende Fläche wird$A$, das ist die Fläche der Basis. Dies skaliert um einen Faktor von$A$, und daher sollte das resultierende Volumen um denselben Faktor skaliert werden, da die Höhe gleich bleibt. Der letzte Band ist also$A\cdot h$.