Was bedeutet "diskret" im Klartext wirklich?
Kann jemand erklären, was eine "diskrete" Funktion im philosophischen Sinne im Klartext wirklich bedeutet?
Bedeutet diskret, dass es nur Punkte mit bekannten Werten gibt und nichts dazwischen? Und wenn das der Fall ist, ist es dann möglich, wirklich zu wissen, was irgendwie zwischen den Punkten liegt?
Ich meine, lineare Interpolation würde natürlich "fudgen" und eine Kurve zu einer Reihe von Linien vereinfachen. Polynominterpolation vielleicht?
Gibt es eine Möglichkeit, 100% genau darzustellen, was zwischen den Punkten liegen würde?
Kommen Sie, um es zu erwähnen, sind nicht alle berechneten Werte "diskret"? Wenn also der Grafikrechner oder desmos.com oder was auch immer ein Diagramm zeichnet, zeichnet er dann nicht tatsächlich eine Reihe von Ausgabewerten einer Gleichung, nur in ausreichend kleinen Schritten, damit Sie die Lücken nicht sehen können?
Ich frage also, ob es tatsächlich einen tieferen, fundamentalen Unterschied zwischen einer diskreten Funktion wie gibt
y_0 = 10
y_(i+1) = C/2 + y_i
vs eine "reguläre" Funktion wie
y = x
oder geht es nur darum, dass ähnliche Muster vom Computer unterschiedlich dargestellt werden? Bc beide Funktionen können für immer weitergehen. Und obwohl das erste in diskreten "Schritten" fortschreitet, muss das Muster, das es darstellt, in einem kleineren Maßstab existieren, nur vielleicht nicht von der "Linse" dieser Gleichung "erfasst" werden? Idk.
Antworten
Eine diskrete Menge in einem metrischen Raum oder einem anderen topologischen Raum, wie z. B. der Linie oder der Ebene oder $3$-dimensionaler euklidischer Raum ist ein Raum, in dem jeder Punkt (topologisch) isoliert ist, und das bedeutet, dass jeder Punkt in der Menge eine offene Nachbarschaft hat, die keine anderen Punkte in der Menge enthält.
Zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen $\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\}$ ist diskret, weil zum Beispiel über jede ganze Zahl $5,$ Sie können beispielsweise ein offenes Intervall finden $(5-0.1,5+0.1),$ die keine andere ganze Zahl enthält.
Und das Set $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\}$ ist diskret, aber wenn Sie den Grenzpunkt hinzufügen $0,$ bekommen $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\} \cup\{0\},$das ist nicht diskret weil$0$ist eher ein Grenzpunkt als ein isolierter Punkt. Mit anderen Worten, egal wie klein ein offenes Intervall ist, das Sie enthalten$0,$ Dieses Intervall enthält auch andere Mitglieder der Gruppe.
Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht ausschließlich aus Punktmassen. Also wenn eine Zufallsvariable (Kapital)$X$ hat die Eigenschaft, dass $\sum_x \Pr(X=x)=1,$ wobei die Summe über allen Werten liegt (Kleinbuchstaben) $x$ das (Kapital) $X$ könnte gleich sein.
Es gibt viele verschiedene Arten von Unendlichkeit. Die kleinste Unendlichkeit sind die natürlichen Zahlen,$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \}$. Wir nennen seine Größe$\omega$.
Viele Sets haben die gleiche Größe wie $\mathbb{N}$. Zum Beispiel hat der Satz von geraden Zahlen auch Größe$\omega$oder die Menge der Primzahlen oder die der Zahlenpaare.
Intuitiv könnte man denken, dass dies keinen Sinn ergibt. Gibt es nicht halb so viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen? Gibt es nicht viel mehr Paare von zwei Zahlen?
Mathematisch gesehen sind zwei Mengen gleich groß, wenn Sie ihre Elemente so koppeln können, dass kein Element einer der beiden Mengen in Ruhe gelassen wird. Mit anderen Worten, wenn Sie eine unendliche Menge nehmen und ihre Elemente zählen können, wie$1, 2, 3, \dots$und stellen Sie sicher, dass jedes Element irgendwann in dieser Zählung erscheint, dann ist die Größe dieses Satzes $\omega$.
Wir nennen diskret (auch zählbar ) eine Menge, die nicht größer als ist$\mathbb{N}$ - seine Elemente können gezählt werden.
Es gibt jedoch größere Unendlichkeiten als $\omega$. Ein solches Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen. Es ist erwiesen, dass, wie auch immer Sie versuchen, reelle Zahlen mit natürlichen Zahlen abzugleichen, immer reelle Zahlen ausgelassen werden. Als solche ist die reale Linie nicht diskret.
Die Beispiele, die Sie mit Ihrer Punktzahl haben, sind schwierig. Es gibt viele verschiedene diskrete Mengen.
Angenommen, wir arbeiten mit ganzen Zahlen. Dann haben wir nur ganze Zahlen und nichts dazwischen.
Es gibt jedoch rationale Zahlen - Brüche. Brüche sind auch diskret, da sie im Wesentlichen Paare von ganzen Zahlen sind - Zähler und Nenner. Zwischen zwei beliebigen Fraktionen befinden sich jedoch mehr Fraktionen - tatsächlich unendlich viele. Trotzdem sind die irrationalen Zahlen einfach nicht da.
Wenn Sie daran interessiert sind, was auf der gesamten realen Linie passiert, auch an irrationalen Punkten, dann arbeiten Sie in jeder Hinsicht nicht mehr an einer diskreten Menge.
Wenn wir Daten sammeln, sind die Daten diskret. Wir haben eine begrenzte Anzahl von Beobachtungen. Wir könnten diese Daten dann an eine kontinuierliche Kurve anpassen, um diese Daten zu modellieren. Es ist zu beachten, dass ALLE Daten fehlerhaft sind. Ist es möglich zu wissen, wo sich tatsächlich Punkte befinden? Nicht nur die interpolierten Punkte - jeder der Punkte.
Mathematik arbeitet in einer idealisierten Welt, die nicht die reale Welt ist. Wir arbeiten mit rein mathematischen Objekten. Kurven sind kontinuierlich, weil wir die Kurve definiert haben. Für jedes x in einem Intervall existiert ein y. Ob wir diese y-Werte explizit berechnen oder nicht, sie sind da. Da die Grafiksoftware nur endlich viele Punkte darstellt, ist die Software eine Simulation einer tieferen mathematischen Welt.