Was bedeutet eigentlich Enge?

Question

Vor kurzem wurde mir die folgende Definition für Dichtheit eingeführt.

Eine Folge von Zufallsvariablen wird als eng bezeichnet, wenn überhaupt $\epsilon >0$ es gibt $R>0$ so dass für jeden $i$, $$P(X_i\in[-R;R])>1-\epsilon.$$

Ich habe Probleme zu verstehen, was es tatsächlich grafisch bedeutet, und ich habe versucht, es auch anders zu formulieren.

Wie ich verstanden habe, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sequenz Wert auf das Intervall nimmt $[-R;R]$ ...

und ich verstehe das nicht $1-\epsilon$Teil. Warum muss die Wahrscheinlichkeit größer sein als$1-\epsilon$? Ist es das gleiche, wenn wir nur sagen, es ist kleiner als$\epsilon$? Gibt es eine Möglichkeit, die Definition so zu formulieren, dass es keine Notationen gibt, damit ich sie besser verstehen kann?

Answer 1

Kennen Sie Quantifizierer? Der Schlüssel in dieser Definition ist ihre Reihenfolge. Wir haben$$ \forall \epsilon > 0( \exists R > 0 ( \forall i \ P(X_i \in [-R, R]) > 1 - \epsilon)) $$Mit anderen Worten, wir können immer ein Intervall groß genug , dass holen alle von der$X_i$ sind so wahrscheinlich darin zu liegen, wie wir wollen.

In diesem Sinne ist die $X_i$sind "eng". Intuitiv kann man sich vorstellen, dass die$X_i$ Verbreite dich nicht zu schnell mit $i$.

Nachtrag

Wie kann eine Folge von Zufallsvariablen nicht eng sein? Nehmen$X_n$ mit $P(a \leq X_n \leq b) = \int_a^b C_n e^{-\frac{x^2}{2n^2}} dx$ bei dem die $C_n$ sind Konstanten so gewählt, dass $P(X_n \in \mathbb{R}) = 1$. Dann für jeden$R \in \mathbb{R}$ es gibt immer $k$ (Nimm einfach $k > R$) so dass $P(X_k \in [-R , R]) < .7$. Dies zeigt, dass die$X_n$sind nicht eng. Ungefähr geschah dies, weil$\sigma_{X_n} = n$. Das$X_n$ verbreiten sich mit $n$.