Welche Informationen besitzt ein Quantenzustand?
Ich studiere derzeit Quantenmechanik und statistische Mechanik und bin ziemlich neu im QM. Ich habe eine Frage aus dem folgenden Abschnitt im Anhang:
Systeme mit vielen identischen Teilchen, wie z. B. Photonenanordnungen oder Elektronenanordnungen, sind in der Physik sehr wichtig. Diese Systeme erfordern eine spezielle Behandlung im QM, da identische Partikel im QM nicht zu unterscheiden sind (warum?). Identische Quantenteilchen verhalten sich wie Bosonen oder Fermionen. Im Allgemeinen trägt ein QM-Partikel einen Spinfreiheitsgrad$\sigma$(das kann nur diskrete Werte annehmen) zusätzlich zu seinem Positionsfreiheitsgrad r (der ein Kontinuum von Werten annehmen kann). Teilchen mit halb-ganzzahligem Spin sind Fermionen und gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik, während Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen sind und der BoseEinstein-Statistik gehorchen. Elektronen (Spin$1 / 2$) sind Fermionen. Photonen (Spin 1) sind Bosonen. Das$N$-fermion Wellenfunktion ändert das Vorzeichen unter einem Austausch von zwei Teilchen, während die $N$-Bosonenwellenfunktion bleibt unverändert. Lassen$\left|\varphi_{i}\right\rangle$ ein einzelner Teilchenzustand für Fermionen oder Bosonen sein und annehmen, dass es solche gibt $M$ solche Zustände, dh $|\varphi_{1}\rangle, |\varphi_{2}\rangle ,\ldots,|\varphi_{M}\rangle,$ wo $M$ist im Allgemeinen unendlich. Wenn die Partikel Fermionen sind$\left|\varphi_{i}\right\rangle$kann entweder null oder ein Partikel aufnehmen: Dies ist das Pauli-Ausschlussprinzip. Wenn die Partikel Bosonen sind$\left|\varphi_{i}\right\rangle$kann eine beliebige Anzahl von ihnen aufnehmen (von Null bis unendlich). Ein möglicher$N$-Partikelzustand $|\Psi\rangle$ ist dann ein Zustand, in dem es gibt $n_{1}$ identische Partikel in $\left|\varphi_{1}\right\rangle, n_{2}$ im $\left|\varphi_{2}\right\rangle,$ und so weiter bis $n_{M}$ im $\left|\varphi_{M}\right\rangle .$ Die Zahlen $n_{i}$ werden Berufsnummern genannt $\left(\sum_{i=1, M} n_{i}=N\right) .$ Für Fermionen sind die möglichen Beschäftigungsnummern $n_{i}=0,1,$ für Bosonen sind die möglichen Berufsnummern $n_{i}=0,1,2, \ldots, \infty .$ Da die Partikel nicht zu unterscheiden sind, können wir Besetzungsnummern verwenden, um eine zu kennzeichnen $N$-Partikelzustand, dh: $$ |\Psi\rangle=\left|n_{1}, > n_{2}, \ldots, n_{M}\right\rangle $$
Wir gehen also Quantenensembles durch. Ich sehe, dass in Quantensystemen im Gegensatz zu klassischen Systemen die Wellenfunktion$\Psi(r_1,r_2,...,r_N)$enthält alle Informationen in unserem System - es definiert den Status. Für ein System von$N$ Teilchen sagen wir, dass ein bestimmter Zustand von denen $N$ Teilchen ist gegeben durch $|\Psi \rangle$.
Jetzt in diesem speziellen Absatz sehen wir, dass, wenn ich ein System von habe $N$ Teilchen (sie könnten Bosonen oder Fermionen sein), und wir sagen, wir haben $M$ Zustände von ihnen, und wir bezeichnen sie mit $|\phi_k\rangle$ wo $k$ geht von $1$ zu $M$. Meine Frage ist, welche Informationen in diesen vorhanden sind$| \phi _k \rangle$? Wir sagen, dass diese Partikel in nummerierten Zuständen sein könnten$1$ zu $M$, aber wie sehen diese Zustände aus?
Aus der letzten Zeile sehe ich das $| \Psi \rangle \neq \sum_k | \phi _k \rangle$.
Was mich wundert, was ist der Zusammenhang zwischen diesen Staaten $| \phi _k \rangle$ und $|\Psi \rangle$? Was sind diese Zustände und was schreiben Sie ihnen zu?
Antworten
Ihr Buch ist allgemein gehalten, da es viele Möglichkeiten gibt, Zustände anzugeben, und einige davon hängen vom Hamilton-Operator des Systems ab.
Zum Beispiel könnte man viele Teilchen in einer unendlichen Wanne oder im harmonischen Oszillator haben, und man könnte Zustände als Energieeigenzustände bezeichnen. Sie könnten sich nur Drehungen ansehen, und so haben Sie eine Anzahl von Zuständen, die der Anzahl möglicher Drehzustände entspricht. Oder Sie könnten beides in Betracht ziehen, wie bei Elektronen in Atomen. Es gibt auch Fälle, in denen Sie ein Kontinuum von Zuständen haben können. Der Text deckt einfach alles ab, indem er allgemein gehalten ist.
Der letzte Teil, nach dem Sie fragen, ist zu sagen, dass der Zustandsvektor, der das Gesamtsystem beschreibt, nicht durch eine lineare Überlagerung einzelner Teilchenzustände beschrieben wird. Es wird stattdessen durch ein Produkt einzelner Teilchenzustände (oder wirklich eine Überlagerung von Produktzuständen) beschrieben.