Wert eines Integrals

Question

Ich muss den Wert des folgenden Integrals überprüfen $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ Der Integrand (Faktor von $4n(n-1)$) enthalten) ist das PDF einer bestimmten Zufallsvariablen für $n\geq 3$und daher erwarte ich, dass es 1 ist. Wenn jemand es freundlicherweise in ein Computeralgebrasystem wie MATHEMATICA einbauen kann, wäre ich sehr verpflichtet. Ich habe keinen Zugriff auf CAS-Software.

PS: -Ich kenne keine kostenlose CAS-Software. Wenn es jemanden gibt, kann er bitte teilen

Answer 1

Das Integral kann umgeschrieben werden als \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Durch Teilintegration erhalten wir $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Deshalb, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS Sie können SageMath und WolframAlpha für symbolische Berechnungen verwenden. Beide sind kostenlos.

Answer 2

Es scheint, dass Ihre Vermutung wahr ist. Mathematica gibt das Ergebnis$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ in Bezug auf die unvollständige Beta-Funktion und die Eingabe von zufälligen ganzen Zahlen $\geq 3$ ergibt immer 1 (ich habe es nicht geschafft, Mathematica dazu zu bringen, das als allgemeines Ergebnis für willkürlich auszuspucken $n$).

Answer 3

Sie können CoCalc verwenden . Geben Sie beispielsweise integral(x^2,x)get und get ein1/3*x^3

Es erlaubt auch symbolische Parameter.

Eingang:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Ausgabe:

1/3*x^3+n*x