Zur Definition der Richtungsableitung

Question

Im multivariablen Kalkülkurs habe ich die Richtungsableitung einer multivariablen Funktion genommen $f(x,y)$ beim $(a,b)$ in Richtung des Vektors $\vec{s}$ wurde wie folgt definiert: $$f_s(a,b) = \vec{\nabla f} \cdot \vec{u_s}$$

wo $\vec{u_s}$ ist der Einheitsvektor in der gleichen Richtung von $\vec{s}$. Jetzt bin ich auf folgende Definition gestoßen:

$$\frac{d}{d\alpha} f(\vec{v} + \alpha\vec{s})$$ ausgewertet bei $\alpha = 0$ $(\vec{v}$soll der Vektor sein, bei dem die Ableitung ausgewertet wird). Ich kämpfe darum zu sehen, warum die beiden Definitionen gleich sind.

Answer 1

Die Definitionen sind nicht gleichwertig. Soweit ich weiß, ist die übliche Definition die zweite:

Definition : Die Richtungsableitung von$f$ beim $p$ in Richtung des Einheitsvektors $\vec{s}$ ist die Ableitung bei $0$ der Funktion $\varphi(t)=f(p+t\vec{s})$

Die erste "Definition" in der Frage ist tatsächlich eine Eigenschaft, die der Definition nicht entspricht. Es ist zum Beispiel wahr, wenn$f$ ist differenzierbar bei $p$::

Satz : Wenn$f$ ist differenzierbar bei $p$, dann $f$ hat Richtungsableitungen bei $p$ in alle Richtungen $\vec{s}$ und $f_{\vec{s}}(p)=\nabla f(p)\cdot \vec{s}$.

Der Beweis ist einfach eine Konsequenz der Kettenregel für differenzierbare Funktionen. Wenn$f$hat alle partiellen Ableitungen (hat also einen Gradienten), ist aber nicht differenzierbar, die Dinge werden chaotisch. Die RHS ist definiert, aber es ist möglich, dass die LHS für eine bestimmte Richtung nicht existiert$\vec{s}$. Schlimmer noch, es ist möglich, dass$f_{\vec{s}}(p)$ existiert, ist aber nicht gleich $\nabla f(p)\cdot \vec{s}$!

Einige interessante Beispiele (bei $p=(0,0)$):

1. $f(x,y)=0$ wenn $x=0$ oder $y=0$, und $f(x,y)=1$ Andernfalls.
2. $f(x,y)=\frac{y^2}{x}$ wenn $x\neq 0$ und $f(0,y)=0$.

Diese Beispiele sind klassisches Material für Kalkül- / Analyse-Lehrbücher. In einigen Kontexten (Differentialgeometrie?) Kümmern wir uns nicht um solche pathologischen Beispiele und betrachten nur differenzierbare Funktionen, daher ist die Formel immer wahr.

Answer 2

Nach der Kettenregel haben Sie \begin{align*} \frac{d}{d\alpha}f(v+\alpha s)_{|\alpha=0} &=\nabla f(v+\alpha s_{|\alpha=0})\cdot \frac{d}{d\alpha}(v+\alpha s)_{|\alpha=0}\\ &=\nabla f(v)\cdot s \end{align*} welches sollte dein Problem lösen.

Beobachten Sie das andererseits $\frac{d}{d\alpha}f(v+\alpha s)_{|\alpha=0}$ ist die Richtungsableitung von $f$ in Richtung des Vektors $s$ am Punkt bewertet $v$, das ist $\partial_sf(v)$.

Dies führt zu der bekannten Formel im multivariablen Kalkül: $$ \nabla f(v)\cdot s=\partial_sf(v)\;. $$ Hier $f:U\to\Bbb R$ wo $U$ ist offen in $\Bbb R^n$;; Beachten Sie die Schaltrolle der Elemente von$\Bbb R^n$ haben: sowohl Vektoren als auch Punkte, je nachdem, was benötigt wird (nämlich: beide $v$ und $s$ sind Element von $\Bbb R^n$, aber $v$ wird als ein Punkt gesehen, während $s$ als Vektor, da wir uns in seine Richtung bewegen, um die Ableitung zu erreichen).