0 पर सेट बोरेल का घनत्व

हाँ। आयाम में$\geq 2$ यह तुच्छ है, इसलिए मुझे लगता है कि हम वास्तविक रेखा को देख रहे हैं।

दिया गया $n>0$ तथा $\alpha\in [0,1]$, डाल $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ तथा $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$।

डाल $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$। तब का घनत्व$U_{n,\alpha}$ पर $0$ बिलकुल है $\alpha$। यह देखने के लिए, लिखें$m_r$ के लिये $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ और ध्यान दें कि:

• अगर $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, तब फिर $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• अगर $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, तब फिर $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$।

संकेत: चलो $I_n=(1/(n+1),1/n).$ चलो $L_n$ की लंबाई हो $I_n.$ से बाहर $I_n$ हम एक सबनेटवल चुनते हैं

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ एक है "$t$-इसके बावजूद ” $I_n.$ सेट $E=\cup J_n.$ अगर मैं इस अधिकार के बारे में सोच रहा हूं, तो हमारे पास होगा

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

संख्याओं के अनुक्रम पर विचार करें $r_n \searrow 0$ ऐसा है कि $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$। चलो$\theta$ से एक माप संरक्षण मानचित्र हो $(0,r_1]$ सेवा मेरे $\mathbb R^2$ वह प्राप्त करता है $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ सेवा मेरे $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$। तो करने दें$A$ मूल में केंद्रित 'पाई का टुकड़ा' हो $\mathbb R^2$, कोण के साथ $\alpha$कोने में। फिर$\theta^{-1}(A)$ घनत्व के साथ एक सेट होगा $\alpha/(4\pi)$ पर $0$।

यह घनत्व देगा $0 \le t \le \frac12$। लेना$\frac12 < t \le 1$, बस जोड़ें $(-\infty,0]$।