2 अक्ष के बारे में घूमती हुई वस्तु के कुल कोणीय गति की गणना करें (जैसे पृथ्वी)

पहले, विचार करें कि पृथ्वी की स्पिन कक्षीय धुरी के कोण पर है।

यहाँ $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$

संयुक्त रोटेशन ( ऊपर से नकारात्मक एक्स- एक्सिस के बारे में शीर्षक दिया गया है)

$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$

जिसका अनुवाद किया जा सकता है

$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$

क्या दिलचस्प है कि आप पृथ्वी के सापेक्ष पृथ्वी के रोटेशन के तत्काल केंद्र की गणना कर सकते हैं $(c_y,c_z)$ ()$c_z$नीचे नकारात्मक दिखाया गया है)। यह वह बिंदु है जिसके बारे में पृथ्वी वास्तव में कताई कर रही है।

बिंदु की गणना करने के लिए कक्षीय गति की गणना करें (सकारात्मक x -axis पृष्ठ बाहर है)

$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$

और फिर रोटेशन का केंद्र

$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$

जो चंद्र दूरी इकाइयों (1 LD = 384402000 मीटर ) में दिलचस्प है

$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$

जो हमेशा सूर्य की ओर लगभग एक LD होता है, और ग्रीष्म संक्रांति में पृथ्वी के नीचे एक-आधा LD, और सर्दियों संक्रांति में पृथ्वी पर एक-आधा LD होता है।

अब जब पृथ्वी की कीनेमेटिक्स स्थापित हो गई हैं, तो हम गतिकी के बारे में बात कर सकते हैं।

पृथ्वी के साथ घूम रहा है $\vec{w}$ और इसलिए पृथ्वी के केंद्र में इसकी कोणीय गति है $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ कहां है ${\rm I}_E$ पृथ्वी की जड़ता का द्रव्यमान क्षण है।

लेकिन चूंकि पृथ्वी भी अनुवाद कर रही है, इसलिए इसमें रैखिक गति है $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$।

सूर्य के बारे में पृथ्वी के कोणीय गति की गणना करने के लिए, फिर हम निम्नलिखित नियम के साथ दोनों मात्राओं को जोड़ते हैं

$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$

यदि आप गणना करते हैं तो आपको z -axis के साथ कोणीय गति का अधिकांश भाग y -axis के साथ एक छोटे घटक के साथ मिलेगा ।

क्या दिलचस्प है कि आप अंतरिक्ष में उस स्थान का पता लगा सकते हैं जहां पृथ्वी की टक्कर का अक्ष गुजरता है। ऊपर के समान फैशन में, यह बिंदु है

$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$

अंतरिक्ष में इस बिंदु का महत्व यह है कि यदि आप एक समान और विपरीत गति लागू करना चाहते थे $\vec{p}$टक्कर के केंद्र के माध्यम से पृथ्वी पर, पृथ्वी न केवल परिक्रमा करना बंद कर देगी, बल्कि कताई भी बंद कर देगी । आप इस बिंदु के माध्यम से एक आवेग के साथ पृथ्वी की सभी गतिज ऊर्जा को हटा सकते हैं। यह पृथ्वी को अपनी पटरियों पर रोक देगा।

हैरानी की बात है कि दो कोणीय वेगों को जोड़ने का नियम इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि "इन कोणीय वेगों की धुरी" वस्तु से गुजरती है या नहीं, और वे प्रतिच्छेदन करती हैं या नहीं।

किसी निकाय का कोणीय वेग आपकी पसंद के संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम पर निर्भर नहीं करता है। मान लीजिए कि हमारे पास शरीर से जुड़े कुछ तीर हैं; इस वक्त$t_0$ इस तीर ने एक दूर के तारे की ओर इशारा किया $A$; इस वक्त$t_1$ इस तीर ने एक और दूर के तारे की ओर इशारा किया $B$- ठीक है, अगर यह सही है, तो यह संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेम में सच है। और शरीर का अभिविन्यास कितनी तेजी से बदलता है - यह संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर नहीं करता है (जब तक कि संदर्भ का फ्रेम जड़त्वीय है)।

अब आइए पृथ्वी के कुल कोणीय वेग को मापें। सूर्य से जुड़े संदर्भ के फ्रेम में इसे मापना और इस तरह से घुमाना पहले संभव है, कि पृथ्वी का वेग शून्य हो। मान लीजिए कि संदर्भ के इस फ्रेम में पृथ्वी का कोणीय वेग है$\vec\omega$। संदर्भ के फ्रेम का कोणीय वेग है$\vec\Omega$, इसलिए पृथ्वी का कुल कोणीय वेग है $\vec\omega + \vec\Omega$। यह ध्रुवीय तारे की ओर एक सदिश निर्देशन है, यह परिमाण लगभग है$1/86164sec$ - जहाँ eal६१६४ दिन के समय में तारों की संख्या होती है, जो कि दूर के तारों के सापेक्ष पृथ्वी के घूमने की अवधि है।

अब आपके प्रश्न के दूसरे भाग में: "अब तक मैंने देखे गए प्रत्येक पाठ्यपुस्तक / वेब पेज में, मैंने अपने स्वयं के अक्ष के बारे में पृथ्वी के घूमने के कारण सूर्य की परिक्रमा को कोणीय गति से अलग परिक्रमा करने के कारण कोणीय गति देखी है। "

इस बार संदर्भ का फ्रेम सूर्य से जुड़ा हुआ है और यह निष्क्रिय है। संदर्भ के इस फ्रेम में पृथ्वी के कुल कोणीय गति की गणना करने का "निष्पक्ष" तरीका है पृथ्वी को कई छोटे भागों में विभाजित करना, प्रत्येक भाग की गति की गणना करना और परिणामों को योग करना। पृथ्वी के द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर गति की गणना करने का आसान तरीका पृथ्वी की गति की गणना करना होगा जैसे कि यह सभी द्रव्यमान द्रव्यमान के केंद्र में स्थित है और इन दो वैक्टर को जोड़ते हैं। कुल परिणाम समान होगा - यह एक सरल गणितीय प्रमेय है।

ध्यान दें, कि पृथ्वी के घूमने के कारण इसकी धुरी के चारों ओर गति बहुत छोटी है, फिर सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के घूमने के कारण गति। इससे भी महत्वपूर्ण बात, न केवल कुल एराथ की गति (जो इन दो वैक्टरों का योग है) समय में स्थिर है, इन घटकों में से हर एक स्वयं स्थिर है! (हम चंद्रमा और अन्य ग्रहों के प्रभाव को अनदेखा करते हैं)। इसलिए, यदि आप इस विवरण की गणना करना चाहते हैं कि पृथ्वी का वेग सूर्य (केपलर के नियमों) से दूरी पर कैसे निर्भर करता है - तो आप पृथ्वी के कोणीय गति के "स्वयं के अक्ष के चारों ओर घूमने" वाले हिस्से को सुरक्षित रूप से अनदेखा कर सकते हैं।