2 गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन के योग को कैसे सिद्ध किया जाए, यह भी विशेषता फ़ंक्शन का उपयोग करके एक गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन है [डुप्लिकेट]
X और Y दो होने दो $ \mathcal{N}(0, 1) $वितरण। मुझे इसके लिए साबित करना होगा$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ के बराबर है $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$।
मैं एक गाऊसी वितरण की विशेषता फ़ंक्शन का उपयोग करके ऐसा करने की कोशिश कर रहा हूं। $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$
मुझे वास्तव में नहीं पता है कि चर को बदलने के बाद से मैं x और y दोनों को कैसे बदल सकता हूं। कोई भी आत्महत्या?
जवाब
चलो $Z=aX+bY$। की विशेषता समारोह$Z$ है:
$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$
EDIT (मैला गलती ...) यदि X और Y स्वतंत्र हैं:
$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,
कहां है $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$सामान्य वितरण की विशेषता है। इसलिए,
$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,
जो सामान्य वितरण की विशेषता है $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$।