3 + 1 अपघटन के लिए उलटा मीट्रिक

मुझे इसे एक बार और सभी के लिए करने दें। हालांकि इस प्रश्न का उत्तर स्पाइरिडॉन द्वारा दिया गया है, मैं एक औपचारिक व्युत्पत्ति देना चाहूंगा क्योंकि स्पिरिडॉन के उत्तर में अनुमान कार्य शामिल है। हमारे पास एक ऐसी स्थिति है जहां हमें एक विभाजित मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने की आवश्यकता है। तो आइए पहले हम विभाजित मैट्रिसेस के व्युत्क्रम के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें और फिर हम इसे मीट्रिक पर लागू करेंगे।

दो गैर-एकवचन दें $n\times n$ मैट्रिक्स $A$ तथा $B$ निम्नानुसार विभाजित किया जा सकता है, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} लश्कर $A_{11}$ तथा $B_{11}$ होना $k\times k$ के साथ मेट्रिसेस $k<n$। हम भी मान लेंगे,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} अब अगर $B=A^{-1}$, तो हम घटक मेट्रिसेस को खोज लेंगे $B$ के घटक मेट्रिक्स के संदर्भ में $A$। हमारे पास है,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} यह मैट्रिक्स संबंध घटता है, \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} से (2) और (3) हमारे पास है, \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} इन्हें (1) और (4) में बदलकर, हम प्राप्त करते हैं, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} इसलिये, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} अब इन्हें (2) और (3) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} इसलिए, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} हमारे उद्देश्य के लिए इसका विस्तार करना सुविधाजनक होगा, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$वुडबरी मैट्रिक्स पहचान के संदर्भ में । सबसे पहले, आइए हम पहचान प्राप्त करें। ध्यान दें कि,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} इसका अर्थ है, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}सभी आवश्यक व्युत्क्रम मौजूद हैं! फिर,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} इस प्रकार, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}उपरोक्त पहचान को वुडबरी मैट्रिक्स पहचान कहा जाता है । अब, पहचान कर रहा है$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ तथा $V=A_{12}$, हमें मिला, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} इसलिए, हमारे पास आखिरकार, \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}इस सामान्य सूत्र को प्राप्त करने के बाद, हम मेट्रिक के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए वापस जाते हैं। हमारे पास है,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} अभी, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} हम यह भी ध्यान दें कि, $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$। फिर,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} तथा \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} और अंत में, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}वोइला! का आनंद लें!

खैर, शायद ऐसा करने का एक और स्पष्ट तरीका है, बिना कुछ अनुमान लगाए। मैं एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा से शुरू करूंगा:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ या अधिक समवर्ती: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ घटकों में लिखा: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ अब, समरूपता का उपयोग करते हुए $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ के बदले में $\mu \leftrightarrow \nu$, कोई देख सकता है, कि वहाँ हैं $ D(D+1) / 2$ समान संख्या में अकुंशों पर रेखीय समीकरण, जो हल किए गए सिद्धांत में हो सकते हैं।

ऐसा करना सीधे तौर पर एक थकाऊ काम लगता है, इसलिए एक शिक्षित अनुमान हो सकता है। माना कि हम जानते थे$g^{00}$ है $-N^2$, सामान्य में ansatz हो सकता है $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, तो पहले समीकरण को तुरंत सेट करके हल किया जाता है: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$तो दूसरी लाइन पर एक लग सकता है। यहाँ यह मान लेना भी स्वाभाविक है, कि$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, कहाँ पे $b^{\mu \nu}$सममित भी है। यह प्रतिस्थापन देता है:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ यहाँ भी, कोई देख सकता है, कि $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ नौकरी करता है।

यह उत्तर स्पिरिडॉन में से एक को विस्तृत करता है, और ओपी के सेटअप के कुछ हिस्सों को थोड़ी अलग भाषा में रिप्रेजेंट करता है।

उलटा मैट्रिक $g^{-1}$एक स्पर्शक होने के नाते, स्वतंत्र समन्वय है। इस प्रकार, एक विशेष समन्वय प्रणाली में व्युत्क्रम मीट्रिक के घटकों को निर्धारित करने का एक तरीका, इसे एक समन्वित स्वतंत्र प्रतिनिधित्व से प्राप्त करना है। बुद्धि के लिए, अगर एक आधार में उलटा मीट्रिक$\{{\bf e}_a\}$ द्वारा दिया गया है $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ तब इसके घटकों को कार्रवाई के द्वारा दिया जाता है $g^{-1}$ दोहरे आधार पर $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ 3 + 1 स्पेसटाइम का अपघटन एक स्केलर फ़ील्ड के स्तर सतहों (वास्तव में हाइपरसर्फेस) द्वारा महसूस किया जाता है $f$। एक इकाई सामान्य है$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$। यूनिट सामान्य से$n^a$ एक समानांतर प्रोजेक्टर का निर्माण कर सकता है ($P_\parallel$) और ऑर्थोगोनल ($P_\perp$) को। उनके घटक भावों द्वारा दिए गए हैं$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ इन प्रोजेक्टरों के साथ कोई भी मीट्रिक के घटकों को निर्धारित कर सकता है $g_{ab}$ हाइपरसुरफ फोलिएशन के संदर्भ में: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ टेंसर क्षेत्र $h_{ab}$हाइपरसर्फ्स पर प्रेरित मेट्रिक है, क्योंकि यूनिट का हर संकुचन सामान्य गायब हो जाता है। इसी तरह से सत्यापित कर सकते हैं कि उलटा मीट्रिक के घटक संतुष्ट करते हैं$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ दिए गए हाइपरसुरफेस पर $f=t$, एक एक-पैरामीटर निर्देशांक के एक सेट का परिचय देता है $y^\alpha$ के कार्य के रूप में सुचारू रूप से भिन्न होता है $t$। यह वेक्टर फ़ील्ड्स का एक सेट उत्पन्न करता है$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$हाइपर्सफेस की स्पर्शरेखा, जो हाइपरसुरफेस से स्पेसटाइम तक एक एम्बेडिंग मैप के रूप में काम करती है। विशेष रूप से, प्रेरित मीट्रिक इन नए निर्देशांक के संबंध के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$। इस समन्वय प्रणाली में, समय वेक्टर$t^a$ आम तौर पर हाइपर्सफेस के लिए ऑर्थोगोनल नहीं है, लेकिन ऑर्थोगोनल में विघटित हो सकता है $N$ और स्पर्शरेखा $N^\alpha$ भागों: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ ध्यान दें कि $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ समय वेक्टर के लिए दोहरी है $t^a$। \ Eqref {विलोपन} में \ eqref {प्रतिलोम} का प्रतिस्थापन तो पैदावार$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ दिए गए निर्देशांक प्रणाली में उलटा मीट्रिक के घटक फिर संकुचन द्वारा पाए जा सकते हैं: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

संदर्भ:

• ई। पॉइसन (2007), ए रिलेटिविस्ट टूलकिट - अध्याय 3, 4
• ई। गुगेरूलहोन (2012), 3 + 1 औपचारिकता और संख्यात्मक सापेक्षता के मामले - अध्याय 2, 3