$a\in \mathbb{N}$, $p$ प्रधान, $a<p$ साबित करो $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [डुप्लिकेट]

Question

$a\in \mathbb{N}$, $p$ प्रधान, $a<p$ साबित करो $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

मेरा प्रयास:

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ ।

मुझे नहीं पता कि कैसे दिया का उपयोग करें
$a\mid p+1$

Answer 1

हमारे पास है $ a \mid p+1$ इसलिय वहाँ है $\lambda$ ऐसा है कि $\lambda a =p+1$। अब से विभाजित करें$ \lambda p$& हमारे पास {शुरू {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}। \ अंत {eqnarray *}

अन्य निहितार्थ: हमारे पास है $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ या $abc=p(b+c)$इसके द्वारा $a$ और करने के लिए पुनर्व्यवस्थित $(ab-p)(ac-p)=p^2$।

इससे तीन व्यवसाय मिलते हैं $ab-p=1$ या $ac-p=1$& परिणाम इस प्रकार है। या$ab-p=p,ac-p=p$ जो देता है $ab=ac=2p$ इसलिए $a=1$ या $a=2$ और फिर से परिणाम इस प्रकार है।