$A$ वास्तविक मैट्रिक्स है और कुछ के लिए है $k\geq 2,A^{k}$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समान है, कैसे साबित करने के लिए $A$ यह भी एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समान है?
मेरा प्रयास।
$A^{k}=POP^{-1}$।यहाँ $O$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। मैं ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ढूंढना चाहता हूं $O_{1}$ तथा $O_{1}^{k}=O.$ मुझे लगता है कि यह किया जा सकता है क्योंकि इन्वर्टिबल मैट्रिक्स में हमेशा एक 'वर्गमूल' होता है। लेकिन अगर ऐसा किया जा सकता है और$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$इसके बारे में अभी भी कोई जानकारी नहीं दी जाएगी $A$। के कुछ विहित रूप से दी गई जानकारी का उपयोग कैसे करें $A^{k}$ के बारे में जानकारी खोजने के लिए $A$?
आगे का प्रयास।
मुझे लगता है कि शायद मुझे इस समस्या पर विचार करना चाहिए $\mathbb{C}.$इसलिए $O$ स्पेक्ट्रल प्रमेय द्वारा एक विशेष जटिल सामान्य मैट्रिक्स है $O$ पर विकर्ण है $\mathbb{C}$।इसका मतलब यह है $A^{k}$ विकर्ण है और इसके प्रतिरूपों का मापांक 1.So A.So है $A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$ यह स्पष्ट है कि एम एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समान है $\mathbb{C}.$
यह प्रमाण काफी अजीब है क्योंकि हम केवल विचार करते हैं $\mathbb{R}$ जब ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के बारे में बात कर रहे हैं और समस्या स्वयं उस क्षेत्र को नहीं बताती है जिसका हम उपयोग करते हैं।
क्या कोई बेहतर उपाय है？
जवाब
मै मानता हूँ $P$एक वास्तविक मूल्यवान मैट्रिक्स है। (यदि इसकी आवश्यकता है$\mathbb C$ हर्मिटियन रूपों पर विचार करने के बजाय नीचे थोड़ा बदला जा सकता है।)
द्वारा दिए गए समन्वय वेक्टर स्थान पर विचार करें $V=\mathbb R^n$ और इस स्थान पर एक रैखिक ऑपरेटर द्वारा दिया गया है $T:= P^{-1}AP$। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है$T$एक वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समान है। जबसे$T^k$ निरर्थक है, इसलिए है $T$।
साथ में $\langle, \rangle$मानक वास्तविक आंतरिक उत्पाद को दर्शाते हुए, हम निम्नलिखित कस्टम सममित बिलिनियर रूप को परिभाषित करते हैं । के लिये$v,v' \in V$
$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$।
यह तत्काल है कि यह प्रपत्र सकारात्मक निश्चित है। आगे की सूचना
$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $
इसका अर्थ है $T$ कस्टम बिलिनियर फॉर्म के संबंध में एक ऑर्थोगोनल ऑपरेटर है।
अब छवि की गणना करें $T$ एक चुने हुए आधार के संबंध में
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
कहां है $\mathbf B$कस्टम बिलिनियर फॉर्म और सम्मान के साथ कुछ अलौकिक आधार चुना जाता है$Q$कुछ मैट्रिक्स है। चूंकि हमारा वेक्टर स्पेस है$V=\mathbb R^n$, हमने ध्यान दिया कि $\mathbf B$ एक उल्टे मैट्रिक्स के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है।
$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$मानक आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल है ।
आखिरकार
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$
इस प्रकार $T$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समान है
विस्तृत औचित्य कि $Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$ तथा $v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$ तथा $\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
और वस्तुतः समान गणना द्वारा $\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
जहां निहितार्थ निम्नानुसार है $\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
चूँकि उपरोक्त मनमानी के चयन के लिए है $\mathbf x$ तथा $\mathbf y$ हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $Q$मानक आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल है ।
नोट
उपरोक्त भी क्यों के लिए एक सबूत देता है$M^k = I$ इसका आशय है $M$ विकर्ण पर है $\mathbb C$, जैसा $I$वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का सिर्फ एक विशेष मामला है। ऊपर से पता चलता है कि$M$ एक वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समान है जो वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा एक विकर्ण मैट्रिक्स (ओवर) के समान है $\mathbb C$) का है। इस परिणाम का मानक प्रमाण जो आप इस साइट पर देखेंगे, एक न्यूनतम बहुपद तर्क का उपयोग करता है, हालांकि न्यूनतम बहुपद ओपी के प्रश्न पर भी लागू नहीं होता है।
मुझे @ user8675309 की मदद से एक सरल उत्तर मिल गया है
मान लीजिये $P^{-1}A^{k}P=O$ ऑर्थोगोनल है और $S=P^{-1}AP$ तोह फिर $S^{k}=O.$
फिर विचार करें
$$G=\sum_{j=0}^{k-1}(S^{T})^{j}S^{j}.$$
यह साबित करना आसान है $G$ सकारात्मक-निश्चित है और $S^{T}GS=G.$
जैसा $G$ सकारात्मक-निश्चित है इसलिए हम उलटा पा सकते हैं $B$ तथा $G=B^{T}B$।
इसलिए $S^{T}GS=G\Rightarrow (BS)^{T}(BS)=B^{T}B.$
चलो $Q=BSB^{-1}.$यह इस प्रकार है कि $Q^{T}Q=(B^{T})^{-1}S^{T}B^{T}BSB^{-1}=(B^{T})^{-1}GB^{-1}=I_{n}.$
इसलिए $A\sim S\sim Q$ तथा $Q$ ऑर्थोगोनल है।