आदेश का एक समूह दिखाएं $pq$ आदेश के उपसमूह है $p$ तथा $q$ सिलो के और कॉची प्रमेय का उपयोग किए बिना

Question

अगर $o(G)$ है $pq$, $p>q$ अपराध हैं, यह साबित करें $G$ आदेश का एक उपसमूह है $p$ और आदेश का एक उपसमूह $q$।

[यह सवाल हरस्टीन का है और यह सिल्लो और कॉची के प्रमेय से पहले आता है। इसलिए मैं इनमें से किसी का उपयोग किए बिना उत्तर की उम्मीद कर रहा हूं]

यहाँ मुझे अभी तक क्या मिला है:

अगर $G$ चक्रीय है तो हम अन्यथा कर रहे हैं, हम मान सकते हैं कि यह चक्रीय नहीं है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक गैर-पहचान तत्व का क्रम होना चाहिए $p$ या $q$।

मामला $(1)$ अगर मौजूद है $a\in G$ ऐसा है कि $o(a) = p$ और अगर वहाँ भी आदेश का एक तत्व मौजूद है $q$फिर हम कर रहे हैं। तो हम मान सकते हैं कि हर गैर-पहचान तत्व आदेश का है$p$। अब उठाओ$b\in G$ ऐसा है कि $b\notin \langle a \rangle$ फिर $o(b) = p$ तथा $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

तो हमारे पास $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ परंतु $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ परंतु $p^2 > pq$ [जबसे $p>q$] इसलिए हमें विरोधाभास मिला।

मुझे दूसरे मामले के लिए एक संकेत दें और मुझे सही करें अगर पहले मामले के लिए मेरा तर्क गलत है

Answer 1

मान लें कि प्रत्येक गैर-पहचान तत्व आदेश का एक चक्रीय समूह उत्पन्न करता है $q$primes के छोटे।

एक समूह पर एक समानता का संबंध है। इसलिए, हमें समूह को इसके समतुल्य वर्गों में विभाजित करने में सक्षम होना चाहिए। एक तत्व के समतुल्य वर्ग का आकार तत्व के केंद्रक का सूचकांक है। क्यों? ठीक कर$x\in G$। से एक समरूपता बनाएं$G \rightarrow G$ भेजकर $g \rightarrow xgx^{-1}$। समतुल्य वर्ग का आकार छवि का क्रम है। इस मानचित्र का कर्नेल क्या है?

यदि केंद्रक आदेश का है $p$ या $pq$, हमारा हो गया। मान लें कि प्रत्येक केंद्रक क्रम का है$q$केंद्रक का सूचकांक है $pq/q=p$। प्रत्येक तत्व आकार के समतुल्य वर्ग के होते हैं$p$, पहचान तत्व को छोड़कर।

एक साधारण कार्डिनैलिटी गणना से पता चलता है कि $pq= kp+1$, जहां समतुल्यता वर्गों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। हालांकि, यह बेतुका है और इसलिए, आदेश के प्रत्येक उपसमूह को नहीं$q$।