आधारित है $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ चुनाव का स्वयंसिद्ध तात्पर्य है?

Question

चलो $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ सदिश स्थान को निरूपित करें $\mathbb{R}$घटक द्वारा परिभाषित गुणन और जोड़ के साथ वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम। यह अच्छी तरह से जाना जाता है कि यद्यपि उप$\mathbb{R}^\infty$ गैर-शून्य शर्तों के केवल एक सीमित संख्या वाले अनुक्रमों का एक आधार है $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, यह एक आधार नहीं है $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (निरंतर क्रम को व्यक्त करते हुए $(1, 1, 1, \ldots)$ एक अनंत राशि की आवश्यकता होगी $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$, और सामान्य वेक्टर रिक्त स्थान में अनंत रकम अपरिभाषित हैं)। यह भी साबित हो गया है कि यह कथन कि सभी वेक्टर रिक्त स्थान एक आधार है, चुनाव के स्वयंसिद्ध के बराबर है।

मुझे दिलचस्पी है, हालांकि, विशिष्ट स्थान में $\mathbb{R}^\mathbb{N}$। क्या यह साबित हो गया है कि इस सेट के लिए आधार को पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है और इसे स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है? यह एक होमवर्क प्रश्न या कुछ भी नहीं है; मैं बस उत्सुक हूँ।

Answer 1

एक निश्चित संपत्ति स्वीकार करने वाला कोई भी ठोस सेट पसंद का स्वयंसिद्ध अर्थ नहीं होगा। अवधि। पसंद का स्वयंसिद्ध एक वैश्विक कथन है, और एक निश्चित संपत्ति के साथ सेट के बारे में बयान स्थानीय हैं (मैं एक वैश्विक बयान के बारे में बात नहीं कर रहा हूं, उदाहरण के लिए "हर सेट के लिए।"$A$, $A\times X$ अच्छी तरह से आदेश दिया जा सकता है "किसी भी निश्चित सेट के लिए पसंद का स्वयंसिद्ध अर्थ है $X$, ये बेईमानी है)।

हमारे पास हमेशा पसंद की स्वयंसिद्ध विफलता हो सकती है, जितना कि हम चाहते हैं कि यह विफल हो जाए, जबकि वास्तविक संख्याएं, और हर सेट जिसे आप कभी भी ध्यान रखेंगे, अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है ताकि सभी वेक्टर रिक्त स्थान "उस बात में" आधार। दूसरे शब्दों में, पसंद का स्वयंसिद्ध एक वैश्विक कथन है, इसलिए इसकी उपेक्षा एक सेट के बारे में नहीं है । यह एक प्रतिरूप के अस्तित्व के बारे में है।

(हम वास्तव में यह भी नहीं जानते हैं कि क्या कोई क्षेत्र है $F$ इस तरह कि "सभी वेक्टर रिक्त स्थान $F$ एक आधार है "पसंद के स्वयंसिद्ध का तात्पर्य, स्थानीय कथनों के रूप में प्रच्छन्न वैश्विक कथनों का बोलना।"

दूसरी ओर, यह सुसंगत है कि हर सेट में बैयर संपत्ति होती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक रैखिक $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$निरंतर है। काश, एक अलग जगह होने के नाते, वहाँ केवल हो सकता है$2^{\aleph_0}$निरंतर कार्य; लेकिन हम आसानी से एक आधार दिखा सकते हैं$\Bbb{R^N}$ आकार होना चाहिए $2^{\aleph_0}$ साथ ही, और इसलिए वहाँ होगा $2^{2^{\aleph_0}}$इस तरह के आधार के क्रमपरिवर्तन से प्रेरित रेखीय कार्य। और इसलिए, वास्तव में, अगर सभी सेटों के पास बैयर संपत्ति है, तो इसके लिए कोई आधार नहीं है$\Bbb{R^N}$ मौजूद हो सकता है।