अगर $p$ एक अजीब प्राइम और है $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, फिर $\alpha^2$ एक आदिम मूल मोडुलो नहीं है $p$।

Aug 16 2020

सही साबित करें या गलत होने पर पलटवार करें।

अगर $p$ एक अजीब प्राइम और है $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, फिर $\alpha^2$ एक आदिम मूल मोडुलो नहीं है $p$

मैं इसे सच साबित करने की कोशिश कर रहा था, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि कहां से शुरू करना है। मैं Fermat की छोटी प्रमेय का उपयोग करने के बारे में सोच रहा था: यदि$p$ एक प्रमुख और है $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, फिर $\alpha^{(p-1)}=1$लेकिन कोई FLT से आदिम जड़ों तक कैसे छलांग लगाता है? एक आदिम जड़ को एक तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है$\gamma=\phi(m)$ लेकिन वह इस समस्या में कैसे बंधता है?

जवाब

2 Yesit'sme Aug 16 2020 at 11:42

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$अंतिम चरण FLT से आता है।

इसलिए, का क्रम $a^2$ आधुनिक $p$ सबसे ज्यादा है $\frac{p-1}{2}$, इसलिए यह परिभाषा के द्वारा एक आदिम जड़ नहीं हो सकता है।