अगर साबित हो $b^k = a$ तथा $\text{ord}(a) = n$ फिर $\text{ord}(b) = kn$।

Question

चलो $(G,e)$ एक समूह बनो और $a \in G$ परिमित आदेश है

$\quad \text{ord}(a) = n$

और जाने $\langle a \rangle$ द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह को निरूपित करें $a$।

के लिए मान लीजिए $b \in G$ तथा $k \ge 2$

$\quad b,\dots, b^{k-1} \notin \langle a \rangle$ तथा $b^k = a$

तब का क्रम $b$ है $kn$।

प्रमाण

के लिए $b$ के एक से अधिक होना चाहिए $n$ जबसे $\langle a \rangle \subset \langle b \rangle$।

के लिए $b$ बांटना चाहिए $kn$ जबसे $b^{kn} = e$।

जो कुछ बचता है उसकी पहचान करनी है $kn$ में अलग तत्व $\langle b \rangle$।

मैपिंग पर विचार करें

$\quad (u,v) \mapsto a^u b^v \quad \text{where } 0 \le u \lt n \land 0 \le v \lt k$

हमारा काम पूरा हो जाएगा यदि हम दिखा सकते हैं कि यह मानचित्रण इंजेक्शन है। यह इस तथ्य का उपयोग करके पूरा किया जाता है कि$b^v$ में किसी भी तत्व के लिए कभी भी गैर-तुच्छ आक्रमण नहीं हो सकता है $\langle a \rangle$।

मान लीजिए $a^u b^v = a^s b^t$ तथा $u = s$। फिर$v$ के बराबर होना चाहिए $t$।

तो, मान लें कि सामान्यता की हानि के बिना, कि $u \gt s$। फिर हम लिख सकते हैं

$\quad a^w b^v = b^t$

साथ में $0 \lt w \lt n$।

अगर $v = t$ हमारे पास एक विरोधाभास है $a$ आदेश दिया है $n$।
अगर$v \gt t$हमारे पास एक विरोधाभास है क्योंकि हम एक गैर-तुच्छ व्युत्क्रम का निर्माण नहीं कर सकते हैं।
अगर$v \lt t$ हमारे पास एक विरोधाभास है $b^{t-u} \notin \langle a \rangle$।

इससे प्रमाण पूरा हो जाता है।

क्या यह वैध प्रमाण है?

यह मुझे ठीक लगता है लेकिन इस सवाल को पोस्ट करने का कारण यह है कि मुझे यह गणित के तथ्यों के इंटरनेट पर नहीं मिला । मुझे यह (तथ्य?) इस साइट पर या कहीं और एक डुप्लिकेट प्रश्न के रूप में नहीं मिला।

साहित्य का कोई भी लिंक जो इसका उपयोग करता है, वह रुचि का होगा।

Answer 1

आपका प्रमाण सही है। एक छोटा सा प्रमाण निम्न प्रकार है।

के लिये $1\le x<kn$, $b^x\ne e$ जबसे $$b^x=(b^k)^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}=a^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}$$ भी $x\bmod k>0$ तथा $b^x\not\in\langle a\rangle$ क्योंकि पहला कारक अंदर है $\langle a\rangle$ और दूसरा नहीं है, या $x\bmod k=0$ परंतु $\lfloor x/k\rfloor\in[1,n)$ तथा $b^x=a^{\lfloor x/k\rfloor}\ne e$।

फिर भी यह दिखाना आसान है $b^{kn}=e$। इसलिए का आदेश$b$ है $kn$।