बताते हैं कि$\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$पर एक अनूठा समाधान है$\mathbb{R}$

Aug 15 2020

बताते हैं कि$\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$पर एक अनूठा समाधान है$\mathbb{R}$.

यह बर्कले प्रॉब्लम्स इन मैथेमेटिक्स की समस्याओं में से एक का स्पिन ऑफ है।

मेरा समाधान (प्रयास) लेखकों द्वारा प्रस्तुत किए गए समाधान की तुलना में काफी छोटा है (वे दिखाते हैं कि कुछ पड़ोस में एक अनूठा समाधान मौजूद है$(0,54)$पिकार्ड के प्रमेय के एक स्थानीय संस्करण का उपयोग करना और फिर इस पड़ोस पर एक स्पष्ट समाधान खोजने के लिए IFT का उपयोग करना और यह साबित करना कि यह समाधान मान्य है$\mathbb{R}$) इसलिए मैं यह जांचना चाहता था कि मुझसे कुछ छूट तो नहीं गया है।

यहाँ मेरा समाधान है:

होने देना$f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. हल करना$h >0$. निरंतर कार्यों के मूल गुणों द्वारा$f$निरंतर चालू है$[-h,h] \times \mathbb{R}$और इसके अलावा लिप्सचिट्ज़ इन$y$इस पट्टी पर। यह इस प्रकार है,

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$और एमवीटी।

पिकार्ड का प्रमेय लागू होता है और हम देखते हैं कि IVP का एक अनूठा समाधान है$[-h,h]$.

परंतु$h$मनमाना था इसलिए आईवीपी के पास सभी का समाधान है$\mathbb{R}$.$\blacksquare$

क्या यह सही है? सामान्य तौर पर मैं इस बारे में थोड़ा अनिश्चित हूं कि वैश्विक समाधानों की विशिष्टता/अस्तित्व को कैसे साबित किया जाए... विश्लेषणात्मक निरंतरता या वैश्विक पिकार्ड?!


ध्यान दें कि पिकार्ड के प्रमेय का मैं उपयोग कर रहा हूं

आईवीपी$y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, पर एक अनूठा समाधान है$\mathbb{R}$बशर्ते,$\forall h:$

  • $f$निरंतर चालू है$[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

  • $f$वाई पर लिप्सचिट्ज़ है$[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

जवाब

LutzLehmann Aug 15 2020 at 22:26

आपका विचार सही है। उप-रैखिक दाईं ओर आपको एक वैश्विक समाधान मिलता है। उदाहरण के लिए सबूत विचार का पता लगाया गया है

  • प्रथम क्रम ODE के समाधान का अस्तित्व। क्या साबित करना है?
  • ODE के अद्वितीय समाधान के प्रमाण में असमानता

आपके स्रोत के साथ समस्या यह हो सकती है कि उन्होंने मानक स्थानीयकरण के बाद प्रमेय के इस अधिक वैश्विक संस्करण को साबित करने का प्रयास नहीं किया। इस प्रकार उन्हें कई स्थानीय समाधानों से समाधान इकट्ठा करना पड़ता है।

ध्यान दें कि आपकी स्थिति के निर्माण के साथ, आपको केवल एक समाधान मिलता है$[a-h,a+h]$, जो कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए क्योंकि यह ODE का अन्वेषण किया गया डोमेन है।