छल्ले में गुणा पर परिभाषा [बंद]
मान लीजिए कि मेरे पास एक अंगूठी है $R=(\mathbb{R}, +, *)$। है
$a+a=2*a$
($a \in \mathbb{R}$)
हमेशा किसी भी रिंगो के लिए सच है? (ताकि जब यह समीकरण सत्य न हो तो मैं निश्चित रूप से इसका अनुमान लगा सकता हूं$R$ अंगूठी नहीं है।)
1) "किसी भी" के साथ मेरा मतलब किसी भी अन्य अंगूठी का उपयोग करना है $\mathbb{R}$ अंतर्निहित सेट के रूप में, आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद।
जवाब
यदि आपकी अंगूठी में एक इकाई है, यानी एक गुणक पहचान, और परिभाषा जो लगभग हर कोई इन दिनों का उपयोग करता है https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Multiplicative_identity:_mandatory_vs._optional), तो ठीक।
जैसा कि टिप्पणीकार बताते हैं, $2$ परिभाषित किया गया है $1 +1$, कहाँ पे $1$ गुणक पहचान है, और इसलिए यह वितरण कानून और इस तथ्य से अनुसरण करता है $1$ गुणक पहचान है।
केवल सावधान रहने की बात यह है कि यह संभव है $ 2 = 0$ (जैसे में $\mathbb Z_2$), या शायद $2 = -1$ (जैसे में $\mathbb Z_3$), इसलिए आपकी अंगूठी के अंदर ये "पूर्णांक" जिस तरह से आप पूर्णांकों से व्यवहार करने की अपेक्षा करते हैं, वैसा व्यवहार नहीं कर सकते हैं।
BTW, यदि आप एक बीजीय संरचना के साथ काम कर रहे हैं जिसमें ए नहीं है$1$, लोग अक्सर "कार्रवाई" को परिभाषित करेंगे $\mathbb Z$ अपने तत्वों पर, और इसे निरूपित करने के लिए गुणा का उपयोग करें, जहां
$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$
संपादित करें: ठीक है, आपने "किसी भी 'के साथ जोड़ा" मेरा मतलब है किसी भी अन्य अंगूठी का उपयोग कर रहा है $\mathbb{R}$ अंतर्निहित सेट के रूप में ", और इसे संबोधित करने की आवश्यकता है: आप अंतर्निहित सेट ले सकते हैं $\mathbb R$, और उस पर एक निराला नया जोड़ और गुणा परिभाषित करें। सबसे सरल है$a \oplus b = a + b -1$ तथा $a \otimes b = ab - a -b + 2$।
आइए प्रतीक का उपयोग करें $S$ इस नई अंगूठी को निरूपित करने के लिए $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$। फिर नंबर 1 में$\mathbb R$ (जो मैं लिखने जा रहा हूं $1_{\mathbb R}$) रिंग के लिए गुणक पहचान नहीं है $S$। $1_S$, जिसका नाम रिंग में गुणक पहचान के लिए मानक अंकन है $S$, वास्तव में है $2$जिससे मेरा मतलब अच्छे पुराने 2 में अच्छा पुराना है $\mathbb R$, जो हम लिखना चाह सकते हैं $2_{\mathbb R}$, और हाँ $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$।
लेकिन आपका प्रश्न जो पूछता है वह अभी भी सच है $S$, अर्थात $a \oplus a =2_{S} \otimes a$; हालाँकि, ध्यान दें कि आपको रिंग ऑपरेशन का उपयोग करना सुनिश्चित करना है$S$, और अपने आप को याद दिलाएं कि आप उपयोग कर रहे हैं $2_{S}$, जिसे परिभाषित किया गया है $1_{S} \oplus 1_{S}$। (और अंतर्निहित वास्तविक संख्या से मेल खाती है$3_{\mathbb R}$!)
अंगूठी $S$निश्चित रूप से काम करने के लिए बहुत भ्रामक है, और मैंने इसे कभी भी गंभीरता से उपयोग नहीं किया है, केवल स्नातक गणित की बड़ी कंपनियों के दिमाग को तोड़ने के लिए, उन्हें यह दिखाने के लिए कि हम समूहों, अंगूठियों, खेतों आदि को कैसे परिभाषित कर सकते हैं जो कि बहुत अलग व्यवहार करते हैं। वे इसके अभ्यस्त हैं। अर्थात$\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ एक सावधानी की कहानी है, आम तौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला गणितीय उपकरण नहीं है, लेकिन केवल वही आवश्यकता है जो आपने रखी थी $\mathbb R$अंतर्निहित सेट था, और इसलिए आपने इसे वास्तव में अजीब जोड़ और गुणा करने के लिए खुला छोड़ दिया। मैं इस पर तड़पते हुए बहुत अधिक समय नहीं बिताऊंगा, लेकिन यह आपके दिमाग को चिंतन और तेज करने का एक मजेदार उदाहरण हो सकता है।
* यदि कोई प्रतीक का उपयोग करता है "$2$"और कहते हैं कि यह बराबर नहीं है $1+1$, आप उन्हें मजाकिया रूप में देखते हैं, बस पूछते हैं कि उन्हें क्या लगता है कि वे क्या कर रहे हैं, और मांग करें कि वे समझाएं कि वे उस प्रतीक का उपयोग क्यों कर रहे हैं।
यह मूल रूप से परिभाषा से सच है, हालांकि कुछ चीजें हैं जिनके बारे में आपको पता होना चाहिए।
कुछ लोगों को किसी भी अंगूठी की आवश्यकता होती है $(R,+_R,\cdot_R)$ एक गुणात्मक पहचान शामिल है $1_R,$ और यह कि होमोमोर्फिम्स बजता है $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ बदला देना $f(1_R) = 1_S.$ यदि आपको इस स्थिति की आवश्यकता है, तो किसी भी अंगूठी के लिए $(R,+_R,\cdot_R)$ वहाँ एक अद्वितीय अंगूठी समरूपता है $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ इस मामले में, भले ही सेट हो $R$ का शाब्दिक अर्थ नहीं है $2,$ आप सोच सकते हैं $i_R(2)\in R$ जैसा हो रहा है $2$ (आप भी लिख सकते हैं $i_R(2) = 2_R$)। यह सच है तो किसी के लिए भी$r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ चूंकि $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ जैसा कि जोनाथन ने मोनिका नोटों का समर्थन किया है, ऐसा हो सकता है $i_R(2)$आपकी अपेक्षा से भिन्न व्यवहार करता है, या आपकी अपेक्षा से भिन्न दिखता है। यह हो सकता है$i_R(2) = -1_R$ या और भी $i_R(2) = 0_R$! इसके विशेष रूप से अपमानजनक उदाहरण के लिए अंतिम पैराग्राफ देखें।
यदि आपको यह आवश्यकता नहीं है कि आपके छल्ले में गुणक पहचानकर्ता हैं और / या उस अंगूठी homomorphism को गुणात्मक पहचान के लिए गुणक पहचान भेजने की आवश्यकता नहीं है, तो यह अभी भी कुछ हद तक सही है, हालांकि हमें इस बात से सावधान रहना चाहिए कि इसका क्या मतलब है।
चलो $(R,+_R,\cdot_R)$हमारी संभवतः गैर-अनैतिक अंगूठी हो। इस मामले में, हम अद्वितीय समरूपता का उपयोग नहीं कर सकते हैं$i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$पहले से - अब एक से अधिक रिंग होमोमोर्फिज्म हो सकते हैं! इसके अतिरिक्त, सेट$R$ शामिल नहीं हो सकता है $2.$
तो हम क्या करे? खैर, याद रखें कि किसी भी अंगूठी में एक अंतर्निहित एबेलियन समूह होता है$(R,+_R).$ https://math.stackexchange.com/questions/1156130/abelian-groups-and-mathbbz-modules (देख https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)एक अंगूठी पर एक मॉड्यूल की परिभाषा के लिए यदि आप परिचित नहीं हैं)। इसका मतलब स्पष्ट है कि हमारे पास कार्रवाई है$\Bbb{Z}$ पर $R$इसके अलावा अच्छी तरह से बातचीत करता है। हम इस क्रिया को निर्धारित करके परिभाषित करते हैं$$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ ध्यान दें कि मैं नहीं लिख रहा हूँ $n\cdot_R r$ - ऐसा इसलिए है क्योंकि आवश्यक रूप से एक तत्व नहीं है $n\in R$ जो व्यवहार करता है $n.$ हालांकि, तत्व को जोड़ने के बारे में सोचना अभी भी समझदार है $r$ खुद को $n$ समय, जो है $n\cdot r$परिभाषा से मतलब है। $\cdot$ की कार्रवाई को संदर्भित करता है $\Bbb{Z}$ के अंतर्निहित एबेलियन समूह पर $(R,+_R,\cdot_R),$रिंग में ही गुणा नहीं। इस अर्थ में, समानता$$ 2\cdot r = r+r $$ हमेशा रखती है, और यह मूल रूप से परिभाषा से है!
एक आखिरी टिप्पणी। आपने पूछा कि क्या यह किसी भी रिंग के लिए सही है$\Bbb{R}$इसके अंतर्निहित सेट के रूप में। आपको यहां थोड़ा सावधान रहना चाहिए। निम्नलिखित रिंग संरचना पर विचार करें$\Bbb{R}$: $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ यह मानक रिंग संरचना नहीं है $\Bbb{R}$- गुणा एक ही है, लेकिन इसके अलावा "मुड़" है। इस मामले में,$2\in \Bbb{R}$, लेकिन यह सच नहीं है $2\cdot' r = r +' r.$ मान लीजिए $r = 2.$ फिर: $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ दूसरी ओर, $$ 2\cdot'2 = 4. $$क्या हुआ? नीचे दिए गए उत्तर को प्रकट करने से पहले मैं आपको इसके बारे में सोचने देता हूँ!
यहाँ जो हुआ वो हुआ $2\in\Bbb{R}$अब वही भूमिका नहीं निभा रहा है जैसी पहले थी। हमारी अँगूठी$(\Bbb{R},+',\cdot')$ अभी भी एक बहुसांस्कृतिक पहचान है, लेकिन हमारी अंगूठी समरूपता है $i_{(\Bbb{R},+',\cdot')} : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(\Bbb{R},+',\cdot')$ अब भेजता है $$i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(2) = i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) +' i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) = 1 +' 1 = \sqrt[3]{2}.$$तो का एक तत्व है $(\Bbb{R},+',\cdot')$ जो व्यवहार करता है $2$ चाहिए - यह है $\sqrt[3]{2}$। इस प्रकार हमारे पास है$$\sqrt[3]{2}\cdot' r = r +' r$$किसी के लिए $r\in\Bbb{R}.$ यह बहुत भ्रामक है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही है $2\in\Bbb{R}$! इस मामले में, अंतर करना बहुत महत्वपूर्ण होगा$2\cdot r$ (जो है $2\in\Bbb{Z}$ अभिनय कर रहे $r,$ दे रही है $r +'r$) तथा $2\cdot' r$ (जो हमने गणना की है, वह नहीं है $r +' r$सामान्य रूप में)। पहले पैराग्राफ के अंकन में,$2_{(\Bbb{R},+',\cdot')} = \sqrt[3]{2}$ तथा $2\neq 2_{(\Bbb{R},+',\cdot')}$।
क्या हुआ, इसके बारे में और भी स्पष्ट होना $X,$ कोई भी अंगूठी $(R,+_R,\cdot_R),$ और कोई भी आपत्ति $f : X\to R,$ हम दे सकते हैं $X$ इसके अलावा को परिभाषित करके एक अंगूठी की संरचना $X$ द्वारा $x +_X y := f^{-1}(f(x)+_R f(y))$ तथा $x\cdot_X y := f^{-1}(f(x)\cdot_R f(y)).$ हम रिंग स्ट्रक्चर को ले रहे हैं $R$ और इसे करने के लिए परिवहन $X$ जीव के माध्यम से $f$: पहले, अपने तत्वों को ले लो $x$ तथा $y$ में $X,$ उन्हें भेजें $R$ जहाँ आप उन्हें जोड़ते या गुणा करते हैं, और फिर उन्हें वापस लाते हैं $X.$ ऊपर मेरे उदाहरण में, मैं बायजेक्शन का उपयोग कर रहा हूं $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ जो भेजता है $x$ सेवा $x^3.$