दिखाओ कि यह परिवार एकसमान है $0$

Question

चलो $E$ एक आदर्श वेक्टर स्थान हो, $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ कॉम्पैक्ट के लिए $K\subseteq E$ तथा $\sigma_c(E',E)$ के संबंध में प्रारंभिक टोपोलॉजी को निरूपित करें $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, यानी उप-विषय टोपोलॉजी पर $E'$ कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी से विरासत में मिला $C(K)$।

चलो $\mathcal C\subseteq C(E')$ समान रूप से हो $\sigma_c(E',E)$-सुविधाजनक।

हम ऐसा क्यों कर सकते हैं $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$

अधिकांश शायद वांछित दावा प्राप्त करने के लिए तुच्छ है, लेकिन मैं यह नहीं देख पा रहा हूं कि जटिल सेटिंग के कारण कैसे।

$(1)$ स्पष्ट रूप से किसी प्रकार की समानता है $0$। मुझे यकीन नहीं है कि यह प्रासंगिक है, लेकिन Banach-Alaoglu प्रमेय द्वारा$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ है $\sigma_c(E',E)$-सभी के लिए सम्‍मिलित रहें $\delta>0$।

Answer 1

की समान समरूपता की परिभाषा को याद करें$\mathcal{C}$ नक्शे के एक सेट के रूप में $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:

हर मोहल्ले के लिए $V \subseteq \Bbb{R}$ का $O$ एक पड़ोस है $U$ का $0$ में है $(E',\sigma_c(E',E))$ ऐसा है कि $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$

अब के लिए $\psi = 0$ तथा $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$, हमें एक पड़ोस मिलता है $U$ का $0$ ऐसा है कि $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ का पड़ोस रहा है $0$ इसमें रेडी की उत्पत्ति के आसपास बारीक कई खुली गेंदों का एक चौराहा होता है $\delta_1, \ldots, \delta_k$ कॉम्पैक्ट सेट के seminorms के संबंध में $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ सेट करता है $K_k$ कुछ द्वारा आदर्श में बंधे हैं $M_k > 0$ इसलिए अगर हम सेट करते हैं $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ फिर किसी के लिए भी $\varphi \in E'$ अपने पास $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ सबके लिए $k=1, \ldots, n$ तोह फिर $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$

Answer 2

अगर मैं गलत नहीं हूं, तो यह एक अधिक सामान्य परिणाम का उदाहरण होना चाहिए: लेट

• $(X,\tau)$ एक सामयिक स्थान हो;
• $Y$ एक आदर्श बनो $\mathbb R$-सदिश स्थल;
• $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
• $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ के लिये $\tau$-कंपैक्ट $K\subseteq X$ तथा $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
• $(Z,d)$ एक मीट्रिक स्थान हो;
• $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर रहें $C(X,\tau;Y)$ द्वारा उत्पन्न $P$ और मैट्रिक $d$ पर $Z$।

फिर हम आसानी से देखते हैं $f$ आदर्श के संबंध में निरंतर है $\overline p$ पर $C(X,\tau;Y)$ द्वारा उत्पन्न $P$ और मैट्रिक $d$ पर $Z$: चलो $f\in C(X,\tau;Y)$ तथा $\varepsilon>0$। पर निरंतरता धारणा द्वारा$F$, वहां एक है $P$-अड़ोस - पड़ोस $N$ का $f$ साथ से $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ चलो $U_p$ ओपन यूनिट बॉल को निरूपित करें $$C(X,\tau;Y)$$ इसके संबंध में $p\in P$। हम लिख सकते है$N=f+N_0$ कुछ के लिए $P$-अड़ोस - पड़ोस $N_0$ का $0$। इसके अलावा, वहाँ हैं$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-कंपैक्ट $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ तथा $\delta_0>0$ साथ से $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ अब छोडो $\delta\in(0,1)$ साथ से $\delta\le\delta_0$। फिर,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ और इसलिए $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ अर्थात $f$ निरंतर है $f$ स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी के संबंध में $C(X,\tau;Y)$ द्वारा उत्पन्न $P$ और मैट्रिक $d$ पर $Z$।

वैकल्पिक रूप से, परिणाम उस टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न होने की सूचना के तुरंत बाद आया होगा $P$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी की तुलना में मोटे है $\overline p$, जैसा कि यहां चर्चा की गई है ।

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अब अगर $X$ एक आदर्श है $\mathbb R$-वेक्टर स्पेस और $\tau$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी है $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, तब फिर $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ और इसलिए टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न $\left\|\;\cdot\;\right\|$ यूनिफॉर्म ऑपरेटर टोपोलॉजी (यानी द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी) की तुलना में मोटे है $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$) है। तो, हम तुरंत उस प्राप्त करते हैं$F$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर है $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ और मैट्रिक $d$ पर $Z$ भी।