एक मोड़ श्रृंखला में आंशिक रकम का लगातार क्रम

Question

हार्मोनिक श्रृंखला में, हमारे पास है $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ सबके लिए $n$, जिसका अर्थ है विचलन। हालांकि, आंशिक रकम से$n$ सेवा मेरे $2n$मूल्यांकन किया गया $n$, बराबरी का $\ln(2)$ सबके लिए $n$। क्या इसका मतलब यह नहीं है कि आंशिक रकम का क्रम मूल्य में परिवर्तित हो गया है$\ln(2)$, जो बदले में, श्रृंखला को अभिसरण करना चाहिए? मुझे लगता है कि मैं कैची कसौटी और अभिसरण आदि के बारे में कुछ मौलिक नहीं समझ रहा हूं - क्या यह आंशिक रकम का एक क्रम नहीं है, क्योंकि हम अंतराल के साथ जो अजीब चीजें कर रहे हैं, उसके कारण है? आपकी सहायता के लिए धन्यवाद।

Answer 1

सबसे पहले, एक मामूली बात: आंशिक रकम से $n$ सेवा मेरे $2n$ दृष्टिकोण $\ln{2}$, लेकिन वास्तव में इसके बराबर नहीं होगा। (क्यूं कर?)

दूसरा, अधिक प्रमुख बात: वास्तव में, आपने जो दिखाया है, वह आंशिक रकम का क्रम है $\{ H_n\}$कॉची नहीं है, और इस तरह अभिसरण नहीं है। वास्तव में, अगर यह कैची था, तो परिभाषा के अनुसार$|H_{2n} - H_n| \to 0$। यह किसी के लिए है$\epsilon > 0$, वहाँ मौजूद होगा $N(\epsilon)$ जिसके लिए $|H_m - H_n| < \epsilon$ जब कभी $m, n > N(\epsilon)$; हम तो चुनते हैं$m = 2n$ यहाँ।