एक पारलौकिक तत्व द्वारा क्षेत्र विस्तार की डिग्री
चलो $F$ एक क्षेत्र बनो, और चलो $F(x)$ बहुपद वलय के भिन्नों का क्षेत्र हो $F[x]$। मुझे क्षेत्र विस्तार की डिग्री में दिलचस्पी है$[F(x) : F]$। जाहिर है कि यह अनंत है, लेकिन वास्तव में इसकी कार्डिनैलिटी क्या है? यह है$\aleph_0$? क्या यह मैदान पर निर्भर करता है$F$?
जवाब
प्राकृतिक $F$-के आधार $F(x)$ है $$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$ इस प्रकार (के लिए) $F$ अनंत) आधार की कार्डिनैलिटी उसी के बीच समाहित है $F$ तथा $F[x]^2$, अर्थात। यह वैसा ही है$F$।
किसी भी अनंत क्षेत्र के लिए $F$, $F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$ के बराबर की है $F$, और एक विशेषण मानचित्रण है $F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$ के द्वारा दिया गया $(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ (कहां है $(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$) का है। जबसे$F[x] \times (F[x])^*$ के बराबर की है $F[x]$परिणाम इस प्रकार है।
अगर $F$ परिमित है, $F[x]$ अनगिनत अनंत है, और ऊपर के समान तर्क द्वारा, $F(x)$ के रूप में अच्छी तरह से अनंत है।