एक फंक्शन ढूंढना जो दूरी है $1$ से $x^2$ इसके मानदंडों के साथ [डुप्लिकेट]
इसलिए मैंने हाल ही में एक समस्या के बारे में सोचा, जिसे मैंने कई तरीकों से हल करने की कोशिश की है लेकिन नहीं कर सका। यह वर्णन करना बहुत आसान है ...
वह फ़ंक्शन ढूंढें जो दूरी है $1$ परवलय से $y=x^2$इसके मानदंडों के साथ। मैं क्या मतलब का दृश्य ।
यह उन चीजों में से एक है जो मैंने कोशिश की है ...
इस फ़ंक्शन को संगत मिलेगा $x$ उस फ़ंक्शन पर मान जिसे हम a से खोजना चाहते हैं $x$ वक्र पर मूल्य $y=x^2$। प्रतिलोम इसके अनुरूप होगा$x $ मूल्य पर $x^2$ दिए हुए के लिए $x$ मूल्य जो इसे निर्धारित करने के लिए तुच्छ बना देगा $y$ मूल्य। $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ इससे इसका हल निकाला जा सकता है ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ हालाँकि मुझे नहीं पता कि इस फ़ंक्शन का उलटा कैसे हो सकता है।
जवाब
$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ इसलिए $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ या, वोल्फी के अनुसार, $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$।
यह एक चतुर्थांश है $x$ जो हल किया जा सकता है लेकिन उम्मीद के मुताबिक अविश्वसनीय रूप से गड़बड़ है।
मुझे नियंत्रण रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण मिले हैं
$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$
हम मानक पैराड्राइज़ेशन से ऑफसेट करके संशोधित कर सकते हैं। उपयोग किया गया$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ प्लॉट में (ग्राफ स्पष्टता के लिए 1.0 की जगह ऑफसेट 0.2 का उपयोग किया जाता है)।
f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} +
r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1},
GridLines -> Automatic]
r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} +
r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1},
PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} +
r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1},
GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]
हम ऑफसेट के साथ सामान्य और स्पर्शरेखा के साथ दूरी जोड़ते हैं या हटाते हैं $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$
$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$