एक साथ समानांतर रेडियोधर्मी क्षय के कैनेटीक्स
सवाल:
एक रेडियोधर्मी आइसोटोप, एक साथ विभिन्न नाभिकों में क्षय करता है: \ start {array} {cc} \ ce {A-> P} & \ _, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ Ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4.5 \ \ mathrm h) \ end {सरणी}
यह मानते हुए कि शुरू में न तो P और न ही Q मौजूद था, कितने घंटे के बाद, Q की राशि A की शेष राशि से दोगुनी होगी?
मेरा हल:
मुझे मिला $t_{1/2}$ के लिये $A$ जैसा $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$
अब रदरफोर्ड-सोडी कानून से परमाणुओं की संख्या बची है$n$ आधा जीवन है,
$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
और आधे जीवन की संख्या $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$
आइसोटोप के लिए $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ कहाँ पे $T$ के लिए क्षय का सामान्य समय है $\mathrm A$ तथा $\mathrm Q$
के लिये $\mathrm Q$ मुझे यह मानना पड़ा $\mathrm Q$ के बीच एक संबंध बनाने के लिए भी रेडियोधर्मी क्षय से गुजर रहा है $\mathrm A$ तथा $\mathrm Q$
अब ऊपर के समान सूत्र का उपयोग करना $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$
अब प्रश्न में शर्त लगाने, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$
शक्ति द्वारा उठाना $9$ दोनों तरफ,
$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$
जो ये दर्शाता हे,
$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$
इसलिए,
$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$
हालांकि मुझे एक जवाब मिल गया है और यह उस स्थिति को संतुष्ट करता है जो मुझे अभी भी लगता है कि यह गलत है क्योंकि यह धारणा बनी हुई है $\mathrm Q$ और संबंध बनाने के लिए कुछ और किया जाना चाहिए $\mathrm A$ तथा $\mathrm Q$ इसके अलावा, यह सवाल है कि शुरू में न तो दिया जाता है $\mathrm P$ न $\mathrm Q$ मौजूद था और मुझे लगता है कि धारणा का उल्लंघन है।
जवाब
पहले क्रम के समानांतर या पक्ष प्रतिक्रियाएं: संकल्पना
$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$
प्रभावी आदेश = 1
$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$
$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$
$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$
के साथ अंतर है $T$,
$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$
$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$
$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$
इसी तरह,
$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$
$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$
- तुलना में $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [प्रतिशत के लिए 100 गुना]
- तुलना में $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [प्रतिशत के लिए 100 गुना]
वास्तविक समस्या
\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}
$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$
$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$
$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$
$$\implies t= 6\mathrm h$$
तो वह जवाब 6 h के रूप में देता है।
सवाल यशविनी ने पहले ही हल कर दिया है और दिया गया उत्तर सही है।$^2$ एक अधिक सहज और विशिष्ट प्रश्न की व्याख्या यहाँ दी जाएगी।
अब, दी गई दो प्रतिक्रियाएं हैं:
\ शुरू {सरणी} {cc} \ आवश्यकता {रद्द करें} \ _ \ _ {ए -> पी} और (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {ए -> क्यू} & (t_) {1/2} = 4.5 \, \ mathrm h) \\ \ end {सरणी}
अब दर कानून का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं,
\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}
पहले आदेश की प्रतिक्रिया के लिए दर स्थिर है जिसमें आधा जीवन है $t_{1/2}$ की तरह परिभाषित किया गया है:
$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$
अब, दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर रहा है $t_{1/2}$ समीकरणों में, हम प्राप्त करते हैं $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (जबसे $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$
अब, जब से दोनों प्रतिक्रियाएं एक साथ होती हैं, सहज रूप से, इसका मतलब होगा कि पी के प्रत्येक एक मोल के लिए, क्यू के दो मोल। इसलिए, पी के प्रत्येक तिल के लिए, ए प्रतिक्रिया के तीन मोल (चूंकि पी और क्यू के प्रत्येक तिल के लिए एक तिल की आवश्यकता होती है)।
अब, हम दर कानून जोड़ते हैं ($1$) तथा $(2)$, क्योंकि प्रतिक्रियाएं एक साथ होती हैं, पाने के लिए:
$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$
अब, के बीच के संबंध का उपयोग करने के बाद से $k_\mathrm{P}$ तथा $k_\mathrm{Q}$, हमें मिला $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$
इसलिए समीकरण पर पहले आदेश की प्रतिक्रिया के लिए एकीकृत दर कानून का उपयोग करना $(4)$, हमें मिला:
$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$
अब, की राशि $A$ यहाँ इस्तेमाल किया जाएगा $A_0 -A$, और हमें वह मूल्य मिलता है:
$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$
अब, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, ए के हर तीन मोल्स के लिए, दो मोल्स क्यू बनते हैं। इसका मतलब है कि मिश्रण में क्यू की मात्रा अब दो तिहाई होगी$A_\text{used}$। इसलिए क्यू की राशि होगी:
$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$
अब, हमें शर्त दी गई है, $Q = 2A$, के मान को प्रतिस्थापित करता है $Q$ तथा $A$ दिए गए संबंध में हमें मिलता है:
$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$
के लिए हल $t$, हमें मिला:
\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}
अब, समीकरण का उपयोग कर $(3)$, हमें दर स्थिर मिलती है $k_\mathrm P$ होने के लिए $\frac{\ln 2}{9}$। इस मूल्य को समय के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$
इसलिए, इस स्थिति के होने में समय लगता है:
$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$