एक श्रेणी में कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट और कॉम्पैक्ट जनरेटर
मुझे कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट की दो परिभाषाएं मिलीं।
( लूरी, जैकब (2009), उच्चतर टोपोस सिद्धांत, पृष्ठ .392 ) लेट$\mathcal{C}$एक ऐसी श्रेणी बनें जो फ़िल्टर किए गए कॉलिमिट्स को स्वीकार करती है। एक वस्तु$C \in \mathcal{C}$कहा जाता है कि यदि कॉम्पैक्ट फंक्शनल फंक्टर है$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ फ़िल्टर्ड कॉलिमिट्स के साथ काम करता है।
( एबेलियन श्रेणियां, डैनियल मर्फ़ेट, परिभाषा 18 ) चलो$\mathcal{C}$ एक श्रेणी और हो $A$ की एक वस्तु $\mathcal{C}$। हम कहते हैं कि$A$है कॉम्पैक्ट (या कभी कभी छोटे) यदि हमारे द्वारा कोई भी आकारिता है$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ से $A$ एक गैर-रिक्त प्रतिलिपि में, एक गैर-रिक्त परिमित सबसेट है $J \subseteq I$ और का एक कारक $u$ निम्नलिखित फॉर्म का $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$
मैं नहीं जानता कि यह कैसे दिखाना है कि वे समकक्ष हैं, क्या आप कृपया मेरी मदद कर सकते हैं?
इसके अलावा, हमारे पास एबिलियन श्रेणी के जनरेटर की परिभाषा है।
( जेनरेटर वर्सस प्रोजेक्टिव जनरेटरों INABELIAN CATEGORIES, CHARLES PAQUETTE, p.1 ) Let$\mathcal{A}$अबेलियन श्रेणी हो। एक वस्तु$M$ का $\mathcal{A}$ का एक जनरेटर है $\mathcal{A}$ यदि किसी वस्तु के लिए $X$ का $\mathcal{A}$, हम एक epimorphism है $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ कहां है $I$ कुछ इंडेक्स सेट है।
तो कॉम्पैक्ट जनरेटर क्या होना चाहिए? क्या यह एक जनरेटर है जैसे कि निम्नलिखित फॉर्म का एक कारक है?$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ (सभी तीर उल्टे हैं ??)
आपका बहुत बहुत धन्यवाद!
जवाब
वे समकक्ष नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक श्रेणी में Lurie- कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट$R$-मॉड्यूल पतले प्रेजेंटेबल मॉड्यूल्स के समान हैं। (एक लॉवेरी सिद्धांत के लिए बीजगणित की किसी भी श्रेणी के लिए यही सच है, अर्थात, एक बीजगणितीय सिद्धांत जिसका संचालन एकात्मक है, सार्वभौमिक रूप से मात्रात्मक समीकरणों के अधीन है।) दूसरी तरफ, मर्फ़ेट-कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट्स को एक श्रेणी में रखा गया है।$R$-मॉड्यूल्स को भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है (हालांकि वे अगर होंगे $R$Noetherian है)। यहाँ इस बारे में काफी लंबी चर्चा हुई: "सुम्स-कॉम्पैक्ट" ऑब्जेक्ट्स = fg ऑब्जेक्ट्स को मॉड्यूल की श्रेणियों में?
अलग-अलग समुदाय कभी-कभी एक ही शब्द का अलग-अलग तरह से इस्तेमाल करते हैं। 'कॉम्पैक्ट' शब्द कुछ मायनों में विचारोत्तेजक है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह अनुकूलित है।
विचारों के इस चक्र के बारे में मुश्किल बात का हिस्सा यह है कि कई परिभाषाएं पूर्ण सामान्यता के बराबर नहीं हैं, लेकिन अतिरिक्त परिकल्पना के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट के बारे में एक मूल परिणाम मॉड्यूल श्रेणियों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन है, जो अन्य बातों के अलावा मोरीटा समकक्षों के एक लक्षण वर्णन प्रदान करता है।
प्रमेय (गेब्रियल): एक cocomplete abelian श्रेणी$C$ श्रेणी के बराबर है $\text{Mod}(R)$ एक अंगूठी पर मॉड्यूल के $R$ iff यह एक कॉम्पैक्ट प्रॉजेक्टिव जनरेटर को मानता है $P$ ऐसा है कि $\text{End}(P) \cong R$।
इस प्रमेय के कथन में "कॉम्पैक्ट" और "जनरेटर" दोनों व्यक्तिगत रूप से अस्पष्ट हैं। "कॉम्पेक्ट" का अर्थ ल्यूरि-कॉम्पेक्ट या मर्फ़ेट-कॉम्पेक्ट हो सकता है, और "जेनरेटर" में ~ 7 अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, शायद ~ 3 जिनमें से आम-ईश उपयोग (?) में हैं; माइक शुलमैन के जेनरेटर और कोलीमिट क्लोजर देखें (जिसमें 5 संभावित परिभाषाओं पर चर्चा की गई है) और मेरे ब्लॉग पोस्ट जेनरेटर (जिसमें 6 संभावित परिभाषाओं पर चर्चा की गई है, जिनमें से 4 माइक के साथ ओवरलैप है) चर्चा के लिए।
सुखद तथ्य यह है कि फिर भी, गैब्रियल प्रमेय के बयान में "कॉम्पैक्ट प्रोजेक्टिव" और "कॉम्पैक्ट प्रोजेक्टिव जनरेटर" का अर्थ अस्पष्ट है:
- एक cocomplete abelian श्रेणी में, "कॉम्पैक्ट प्रोजेक्टिव," या तो Lurie-Compactness या Murfet-Compactness का उपयोग करते हुए, उस स्थिति के बराबर है $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$सभी (छोटे) कॉलिमिट्स के साथ कम्यूट करता है (इस स्थिति को छोटे होने के रूप में भी जाना जाता है ; मेरे ब्लॉग पोस्ट को चर्चा के लिए टिनी ऑब्जेक्ट्स देखें ), और
- एक संक्षिप्त अबेलियन श्रेणी में कॉम्पैक्ट प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट्स के लिए, "जनरेटर" की लगभग सभी परिभाषाएं हैं जो मुझे पतन के बारे में पता है और समतुल्य हैं। मैं अपने आप को दो नामकरण करने के लिए सीमित करूंगा: सबसे कमजोर यह है कि प्रत्येक नॉनज़रो ऑब्जेक्ट से एक नॉनज़रो मानचित्र स्वीकार करता है$P$ (जिसे मैं "कमजोर जनरेटर" कहता हूं; मैं भूल जाता हूं कि क्या यह नाम मानक है), और सबसे मजबूत यह है कि प्रत्येक वस्तु को प्रतियों की प्रतियों के बीच नक्शे के एक जोड़े के सह-संयोजक के रूप में लिखा जा सकता है $P$ (जिसे मैं "प्रेजेंट जेनरेटर" कहता हूं; यह मानक नहीं है। एक एबेलियन श्रेणी में कोसीक्लाइजर को कोकेरनल्स से बदला जा सकता है, लेकिन यह परिभाषा समूह और रिंग जैसे बीजगणितीय श्रेणियों के लिए सामान्य रूप से सामान्यीकृत है)।
एक स्थिर में अतिरिक्त अति सूक्ष्म अंतर है $\infty$-एक Lurie में काम करता है की तरह स्पष्ट सेटिंग लगता है कि एक परियोजनाशीलता छोड़ सकते हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि सटीक बयान क्या हैं। उदाहरण के लिए, मेरा मानना है कि एक स्थिर है$\infty$गेब्रियल के प्रमेय पर आधारित मॉड्यूल श्रेणियों के श्रेणीबद्ध एनालॉग एनालॉग $E_1$ रिंग स्पेक्ट्रा और मेरा मानना है कि एनालॉग में कॉम्पैक्ट जनरेटर शामिल हैं।
वैसे भी, इसके लायक मैं Lurie-Compactness के लिए "डिफ़ॉल्ट" कॉम्पैक्टनेस के अर्थ के रूप में वकालत करूंगा। मर्फ़ेट-कॉम्पैक्टनेस एबिलियन सेटिंग के लिए काफी विशिष्ट है, लेकिन कई सेटिंग्स में लॉरी-कॉम्पैक्टनेस अच्छा है; उदाहरण के लिए, एक लॉवेरी सिद्धांत (समूह, अंगूठियां, आदि) के मॉडल की श्रेणी में एक वस्तु लूरी-कॉम्पैक्ट आईएफएफ है जो इसे सूक्ष्मता से प्रस्तुत किया गया है। पहले से ही इसका मतलब यह है कि पूरी तरह से मोटे तौर पर obvoius तथ्य यह है कि मॉड्यूल प्रस्तुत किया जा रहा है के लिए Morita अपरिवर्तनीय है।
टॉड के उत्तर के संदर्भ में थोड़ा सा जोड़ने के लिए, मुझे लगता है कि इस भ्रम का कारण यह है कि "कॉम्पैक्ट" का मूल उपयोग, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए, विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है।
सबसे पहले, एक स्थिति में, कॉम्पैक्ट की दो परिभाषाएं सहमत हैं। अगर$C$ Lurie- कॉम्पैक्ट है, फिर एक प्रतिरूप है $\sum_i A_i$ परिमित सबफामिलि के प्रतिपिंडों के फ़िल्टर्ड कोलीमिट है $A_i$, इसलिए धारणा का मतलब है कि किसी भी नक्शे से $C$ में $\sum_i A_i$इस तरह के कुछ परिमित के माध्यम से कारक। (वास्तव में, इस दिशा को श्रेणी के लिए एक पोज़ बनाने की आवश्यकता नहीं है।) दूसरी दिशा में, यदि$C$ मर्फ़ेट-कॉम्पैक्ट है, फिर एक पॉज़िट में सभी कॉलिमिट समान रूप से कॉपीराइड होते हैं, इसलिए किसी भी मैप से $C$ एक उप-उपनिवेश के माध्यम से एक फ़िल्टर किए गए कॉलिमिट कारकों में, और एक ही वस्तु के माध्यम से फ़िल्टर्डनेस द्वारा।
दूसरे, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ पारंपरिक अर्थों में कॉम्पैक्ट है, अगर और केवल अगर उसके शीर्ष तत्व $\mathcal{O}(X)$इन सबंधी इंद्रियों में से किसी एक में उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट है। तो अंतर "कॉम्पैक्ट" के इस अर्थ को सामान्य से अलग-अलग तरीकों से गैर-पोज़ करने के लिए उपजा है। (दुर्भाग्य से, कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस सामान्य रूप से, या तो लूरी-कॉम्पैक्ट या टॉप-स्पेस की श्रेणी में मर्फ़ेट-कॉम्पैक्ट नहीं हैं!)