एक्सपोनेंशियल ऑपरेटर्स के काम को कैसे नापसंद और फिर से व्यवस्थित करना है?
मैंने कई स्रोतों में देखा है कि झूठ समूहों को आमंत्रित करके, $$e^{\alpha_1 g_1+\alpha_2 g_2 + \dots} = e^{\beta_1 g_1}e^{\beta_2 g_2}\dots $$ कहाँ पे $g_i$ एक एल अल्गबा के तत्व हैं।
उदाहरण के लिए, क्वांटम ऑप्टिक्स में दो-मोड निचोड़ ऑपरेटर लें: $$e^{-\xi\hat{a}\hat{b}+\xi^*\hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger} = e^{-\frac{\xi^*}{|\xi|}\tanh|\xi|\hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger} e^{-\ln\cosh|\xi| \left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{b}^\dagger\hat{b}+1\right)} e^{\frac{\xi}{|\xi|}\tanh|\xi| \hat{a}\hat{b}}.$$
कुछ अन्य उदाहरण विस्थापन और एकल-मोड निचोड़ ऑपरेटरों हो सकते हैं।
मेरा सवाल यह है कि ऐसी कौन सी शर्तें हैं जिनके तहत हम ऑपरेटरों को इस तरह से अलग कर सकते हैं और उन्हें फिर से चालू कर सकते हैं?
जवाब
इस क्लासिक की धारा III विधि को दर्शाती है। मैं सूक्ष्म गणित और अपने विशिष्ट उदाहरण के लिए पीछा, की तुच्छ मामले लेने के लिए कटौती की कोई आवश्यकता नहीं ξ असली ... आप सामान्य बातें अपनी संतुष्टि के लिए अपने आप को करते हैं, या जाँच रेफरी ऊपर @ZeroTheHero की टिप्पणी में।
यह ऑपरेटरों के घातांक के बीच एक पहचान है। लाई समूह सिद्धांत में, ऐसे एक्सपोनेंशियल (समूह तत्वों) की संरचना एक एकल समूह तत्व के लिए होती है: इन ऑपरेटरों के नेस्टेड कम्यूटेटरों के रैखिक संयोजन का एक घातांक (आपके एलएच का "लाई बीजगणित")। सभी कम्यूटेटर, यहां तक कि उनमें से एक अनन्तता, अंततः परिचालकों की एक सीमित संख्या, एक परिमित-आयामी झूठ बीजगणित में बंद हो जाती है। (अनंत-अनंत लेग अल्ब्राज़ भी हैं, लेकिन चलो वहाँ नहीं ...)
तो आपके उदाहरण में लाइ बीजगणित क्या है? यह su (1,1) है , लेकिन इसके बारे में चिंता न करें। मैं इसे पाउली मेट्रिसेस के लिए मैप करूँगा, इसलिए आपको केवल उनके कम्यूटेशन रिलेशन को याद करने की ज़रूरत है , न कि नामों और ऐसे प्रासंगिक एलजेब्रस के नामों को जानने की; आपको केवल यह पता होना चाहिए कि ये मैट्रिस बीजगणित के एक वफादार प्रतिनिधित्व हैं: वे इसके सभी कम्यूटेशन संबंधों को बिल्कुल पुन: पेश करते हैं।
तो, परिभाषित करें $$ \sigma^+\equiv i a^\dagger b^\dagger, \qquad \sigma^-\equiv i a b, \qquad \sigma_3\equiv 1+ a^\dagger a+ b^\dagger b, $$ और पुष्टि करें कि ये इस एल बीजगणित का पालन करते हैं, $$ [\sigma_3,\sigma^{\pm}]= \pm \sigma^{\pm}, \qquad [\sigma^+,\sigma^-]= \sigma_3. $$
- अब आप जानते हैं कि पाउली मैट्रिस इस लेय बीजगणित को मानते हैं , इसलिए, यदि यह उनके लिए आयोजित किया जाता है$$ e^{i\xi(\sigma^-- \sigma^+)} = e^{i \tanh \xi ~\sigma^+ } e^{-\ln \cosh \xi ~ \sigma_3} e^{-i \tanh \xi ~\sigma^-} , $$ तब सीबीएच कॉम्बिनेटरिक्स आपके ऑपरेटरों के लिए भी समान होगा, और आपकी पहचान होगी।
दरअसल, lhs है लेकिन $$ e^{\xi \sigma_2}= \cosh \xi ~ 1\!\!1 +\sinh \xi ~ \sigma_2~. $$ दो nilpotent expenders और विकर्ण मध्य एक के संकेत द्वारा rhs, है $$ (1\!\!1 + i \tanh \xi ~\sigma^+ ) ~~\operatorname{diag}(1/\cosh \xi , \cosh \xi) ~~(1\!\!1 - i \tanh \xi ~\sigma^- )\\ =\cosh \xi ~ 1\!\!1 -\sinh \xi ~ \sigma_2~, $$ऊपर के जटिल संयुग्म। हम्म्म्म ...
मेरा मानना है कि आपकी बताई गई पहचान के बाईं ओर परतदार संकेत हैं, जैसा कि छोटे ξ द्वारा देखा गया और विस्तारित घातांक की तुलना की गई!
किसी भी मामले में, आप बहाव ...
विधि की बहुमुखी प्रतिभा को देखने के लिए यहां प्रो 5 की जांच करें ।