एम्बेडेड उपमान की संरचना।
अगर $M$ कई गुना है और $S$एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड है, मैं समझना चाहता था कि किस संरचना के साथ हमें एम्बेडेड सबमनिफोल्ड को बंद करना चाहिए। इसलिए मैं विकिपीडिया पढ़ रहा था । वे जिस संरचना को परिभाषित करते हैं वह वास्तव में पहली नहीं है जो मेरे दिमाग में आई थी। सहज रूप से मैंने संरचना को चुना होगा$\{(U\cap S, \phi_{U\cap S}) : (U,\phi) \text{ is a chart for }$म$\}$। क्या कोई मुझे एक सरल उदाहरण प्रदान कर सकता है कि यह काम क्यों नहीं करता है?
जवाब
आप (सामान्य रूप से) एक (एम्बेडेड) सबमनिफोल्ड के लिए एटलस प्राप्त नहीं कर सकते $S \subset M$ बस परिवेश गुना पर एक एटलस को सीमित करके $M$। ऐसा इसलिए है क्योंकि (टोपोलॉजिकल) मैनिफोल्ड्स केवल शुद्ध टोपोलॉजिकल डेटा (वे सिर्फ सबसपर्स से अधिक हैं) से अधिक होते हैं; उन्हें एक टोपोलॉजी के डेटा और (कम से कम) चार्ट के डेटा की आवश्यकता होती है । चूंकि चार्ट में विशिष्ट गुणों के साथ फ़ंक्शन शामिल होते हैं, वे उसी तरह से विरासत में नहीं मिलते हैं जैसे खुले सेट होते हैं। याद है कि चार्ट के एक एटलस पर$S$ है: हर बिंदु के लिए $p \in S$ एक खुला सबसेट $U \ni p$ कुछ के एक खुले उपसमुच्चय के लिए एक समरूपता से लैस $\mathbb{R}^k$।
बेशक, टोपोलॉजिकल उप-केंद्रों के लिए चार्ट के प्रत्यक्ष उत्तराधिकार के लिए विशिष्ट प्रतिधारण है $S = \mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1} = M$ कहाँ पे $M$ एकल चार्ट है $(M,\mathbf{id})$ तथा $S$उप-विषय टोपोलॉजी है। पहचान मानचित्र का प्रतिबंध$\mathbf{id}:\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1}$ सेवा $S$के एक खुले उपसमुच्चय पर एक होमोमोर्फिज़्म का उत्पादन नहीं करता है$\mathbb{R}^k$ किसी के लिए $k$।
बाधा? चार्ट की प्रतिबंध पर्याप्त रूप से स्थानीय नहीं है (और कई गुना है कि वे वैश्विक वस्तुएं हैं जो स्थानीय डेटा से एक साथ पैच किए गए हैं) होमोमोर्फिज़्म के कारण एक खुले सेट की स्थिति में।
जोड़? जबसे$S$ एक उपमान के रूप में जाना जाता है, फिर प्रत्येक के लिए $p \in S$ आपको एक चार्ट ढूंढना चाहिए $(U,\phi)$के मैक्सिमल एटलस से$M$ ऐसा है कि $(U \cap S, \phi|_{U \cap S})$ एक चार्ट है $S$। यह दृष्टिकोण स्थानीय डेटा का सम्मान करता है$S$ स्थानीय आयात करके, वैश्विक नहीं, डेटा से $M$। [जैसा कि यह पता चलता है, रैंक प्रमेय द्वारा आप यह गारंटी दे सकते हैं कि ये चार्ट "स्लाइस चार्ट" हैं (cf. एक सबमेनफोल्ड की आंतरिक संरचना जिसे आप अपने विकि लिंक पर देखते हैं)]
ऊपर के उदाहरण में $n=1$, अगर $S$ में इकाई चक्र है $M=\mathbb{R}^2$, तथा $p=(0,1)$, तो आप चार्ट ले सकते हैं $(U,\phi)$ का $M$, कहाँ पे $U = \{y < 1\}$ तथा $\phi(x,y) = (\frac{x}{1-y}, 1-x^2-y^2)$। फिर$(U \cap S, \phi|_{U \cap S})$ एक चार्ट है $S$ (एक स्लाइस चार्ट, वास्तव में, चूंकि यह मैप करता है $\mathbb{R} \times {0}$) है।
सीख? Submanifolds करना परिवेश अंतरिक्ष के कई गुना डेटा (के रूप में आप का मानना था) से विरासत उनकी संरचना है, लेकिन आप के अंदर चारों ओर खुदाई करने के लिए है$M$चार्ट के एक उपयुक्त सेट को प्रतिबंधित करने के लिए मैक्सिमल एटलस। इसके अलावा, अगर$S$ किसी भी उप-क्षेत्र ऐसा है जो हर बिंदु पर है $p \in S$ के चार्ट में निहित है $M$ यह एक स्लाइस चार्ट में प्रतिबंधित है