"एफआईपी के साथ बंद सेटों के गैर खाली चौराहे" के लिए प्रमाण को समझने का मतलब है कॉम्पैक्टनेस
मैं निम्नलिखित प्रमेय के प्रमाण को समझने की कोशिश कर रहा था:
"एक स्पेस X कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर एक्स के बंद उपसमूह के प्रत्येक संग्रह को परिमित चौराहे की संपत्ति को संतुष्ट करना गैर-खाली चौराहा है।"
इस प्रमेय के मानक प्रमाण जो मैं देख रहा हूं, वे नीचे दिए गए प्रश्न के समान हैं:
परिमित गहनता गुण का अर्थ है कॉम्पैक्टनेस?
जैसा कि ऊपर दिए गए प्रश्न में मैं समझ सकता हूं कि कॉम्पैक्टनेस के लिए सबूत के लिए बंद सेटों के संग्रह के गैर खाली चौराहे का परिमित चौराहे की संपत्ति है, हालांकि मैं दूसरी दिशा के लिए सबूत के बारे में स्पष्ट नहीं हूं।
ऊपर दिए गए पहले उत्तर में दिए गए दूसरे प्रमाण के अनुसार जो निम्नानुसार है:
मान लीजिए K के पास परिमित चौराहा संपत्ति है। यह साबित करने के लिए कि K कॉम्पैक्ट है {Ui} i beI खुले सेट का एक संग्रह है जो K को कवर करता है। हम दावा करते हैं कि इस संग्रह में सेट का एक सूक्ष्म सबकोलिनेशन है जो K को भी कवर करता है।
लगता है कि $K \neq\bigcup_{j \in J} U_j$ कहां है $J\subset I$परिमित है। तारीफ लेना$K^c \neq \bigcap U_j^c$, जो परिकल्पना द्वारा गैर-रिक्त है - चूंकि $U_i$ यह खुला है, $U_i^c$बंद हो गया है। जबसे$K$ इस प्रकार हमारे पास जो है वह है
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$। यह विरोधाभास है$U_i$ के लिए एक खुला कवर होने के नाते $K$।
यहाँ मैं परिमित सेट के साथ इस प्रमाण के भाग के महत्व को देखने में असमर्थ हूँ $ J $ जिसमें निहित है $ I $। क्या हम सीधे निम्नलिखित भाग के साथ शुरू नहीं कर सकते थे?
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$
सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि हमने प्रश्न में सेट का एक खुला आवरण होने के कारण {Ui} को एक विरोधाभास प्राप्त किया। मैं नहीं देख सकता कि यह कैसे कॉम्पैक्टनेस की ओर ले जाता है? इस सेट के सभी खुले कवरों के लिए एक खुले उपकेंद्र के अस्तित्व को कैसे अनिवार्य किया जाता है?
मैंने निम्नलिखित ब्लॉग में एक समान प्रमाण देखा:
https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/
लेकिन यहाँ भी मैं यह नहीं देख पाया कि विरोधाभास एक उपकेंद्र के अस्तित्व की ओर कैसे ले जाता है।
जवाब
परिमित चौराहे की संपत्ति के साथ सेट के एक परिवार को केंद्रित कहा जाता है ; सुविधा के लिए मैं उस शब्द का उपयोग करूंगा।
दान मा का प्रमाण विरोधाभास से नहीं है। वह साबित करना चाहता है कि अगर हर परिवार बंद केंद्रों में रहता है$X$ गैर-रिक्त चौराहा है, तो $X$कॉम्पैक्ट है। ऐसा करने के लिए, वह गर्भनिरोधक साबित करता है : यदि$X$ कॉम्पैक्ट नहीं है, तो $X$बंद सेटों का एक केंद्रित परिवार है जिसका चौराहा खाली है। यह तार्किक रूप से वांछित निहितार्थ के बराबर है।
तर्क अपने आप में सीधा है। लगता है कि$X$कॉम्पैक्ट नहीं है; फिर इसका एक खुला कवर है$\mathscr{U}$कोई परिमित सबकोवर नहीं है। प्रत्येक के लिए$U\in\mathscr{U}$ चलो $F_U=X\setminus U$, और जाने $\mathscr{F}=\{F_U:U\in\mathscr{U}\}$; स्पष्ट रूप से$\mathscr{F}$बंद सेटों का परिवार है। चलो$\mathscr{F}_0$ किसी भी परिमित उपसमुच्चय हो $\mathscr{F}$। एक परिमित है$\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ ऐसा है कि $\mathscr{F}_0=\{F_U:U\in\mathscr{U}_0\}$। फिर
$$\bigcap\mathscr{F}_0=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}F_U=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\,.$$
$\mathscr{U}$ कोई परिमित उपकेंद्र नहीं है, इसलिए $\bigcup\mathscr{U}_0\ne X$, और इसीलिए
$$\bigcap\mathscr{F}_0=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\ne\varnothing\,.$$
इस प्रकार, $\mathscr{F}$ केंद्रित है: हर परिमित सबसेट $\mathscr{F}$गैर-खाली चौराहा है। परंतु
$$\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{U\in\mathscr{U}}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}=\varnothing\,,$$
जबसे $\mathscr{U}$ का कवर है $X$, तोह फिर $\mathscr{F}$ में बंद सेटों का एक केंद्रित परिवार है $X$ जिसका चौराहा खाली हो।
आपके प्रश्न में कॉपी किया गया प्रमाण अनिवार्य रूप से एक ही विचार का उपयोग करता है, लेकिन इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण के रूप में व्यवस्थित करता है । मैं इसे थोड़ा और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने की कोशिश करूँगा। हम एक अनियंत्रित खुले आवरण के साथ शुरू करते हैं$\mathscr{U}=\{U_i:i\in I\}$ एक कॉम्पैक्ट जगह की $K$, और हम मानते हैं, एक विरोधाभास प्राप्त करने के लिए, कि इसका कोई परिमित उपकेंद्र नहीं है। फिर प्रत्येक परिमित के लिए$J\subseteq I$ हम वह जानते हैं $\bigcup_{j\in J}U_j\ne K$। अब प्रत्येक के लिए$i\in I$ चलो $F_i=K\setminus U_i$; तब फिर$\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ में बंद सेटों का एक परिवार है $K$, और प्रत्येक परिमित के लिए $J\subseteq I$ अपने पास
$$\bigcap_{j\in J}F_j=\bigcap_{j\in J}(K\setminus U_j)=K\setminus\bigcup_{j\in J}U_j\ne\varnothing\,,$$
तोह फिर $\mathscr{F}$केंद्रित है। हम यह मानकर चल रहे हैं कि हर परिवार बंद केंद्रों में रहता है$K$ गैर-खाली चौराहा है, इसलिए हम इसका निष्कर्ष निकालते हैं $\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{i\in I}F_i\ne\varnothing$। परन्तु फिर
$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I}(K\setminus F_i)=K\setminus\bigcap_{i\in I}F_i\ne K\,,$$
इस तथ्य का खंडन $\mathscr{U}$ का कवर है $K$। यह विरोधाभास दर्शाता है कि वास्तव में एक परिमित होना चाहिए$J\subseteq I$ ऐसा है कि $\bigcup\{U_j:j\in J\}=K$, अर्थात, ऐसा $\{U_j:j\in J\}$ एक परिमित उपकेंद्र है।