$ f $ में अलग है $ (0,0). $
परिभाषा: चलो $V\subseteq{\mathbb{R}^{m}}$ एक खुला सेट, $a\in V$ य $f\colon V\to\mathbb{R}^{n}$एक समारोह। हम कहेंगे कि$f$ में अलग है $a,$ यदि एक रैखिक परिवर्तन मौजूद है $f'(a)\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}$ऐसा \ _ {समीकरण} f (a + h) = f (a) + f '(a) (h) + r (h), \ qquad \ lim_ {h \ rightarrow 0} {\ dfrac {r (h) )} {\ lVert h \ rVert}} = 0। \ अंत {समीकरण}
चलो $ a \in \mathbb {R}$हो। फ़ंक्शन को परिभाषित करें$ f \colon \mathbb {R}^ {2} \to \mathbb {R} $ के द्वारा दिया गया
\ start {समीकरण} f (x, y) = \ बाएँ \ {\ start {मैट्रिक्स} \ dfrac {x \ sin ^ {2} (x) + axy ^ {2}} {x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}} & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {मैट्रिक्स} \ सही। \ अंत {समीकरण}
का मान ज्ञात कीजिए $ a $ ताकि $ f $ द्वारा विभेदित है $ (0,0). $
मेरा प्रयास:
हमने उसका अवलोकन किया
\ {{समीकरण} \ dfrac {\ आंशिक f} {\ आंशिक x} (0,0) = 0 = \ dfrac {\ आंशिक f} {\ आंशिक y} (0,0) शुरू करें। \ अंत {समीकरण}
अगर $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},$ तब फिर
\ शुरू {समीकरण} \ dfrac {\ आंशिक f} {\ आंशिक x} (x, y) = \ dfrac {\ sin ^ {2} (x) (2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2}) + x \ sin (2x) (x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) + ay ^ {2} (2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2})} {(x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) ^ {2}} \ end {समीकरण}
\ शुरू {समीकरण} \ dfrac {\ आंशिक f} {\ आंशिक y} (x, y) = \ dfrac {2axy (x ^ {2} -3y ^ {4}) - 4xy \ sin ^ {2} (x) ) (1 + 3y ^ {2})} {(x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) ^ {2}} \ अंत {समीकरण}
अगर $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,$ तब फिर
\begin{align} 2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x)(1+3y^{2})=0&\quad\Longleftrightarrow\quad a(x^{2}-3y^{4})=2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})}{x^{2}-3y^{4}} \end{align}
\ start {समीकरण} f (x, y) = \ बाएँ \ {\ start {मैट्रिक्स} x \ sin ^ {2} (x) & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x) , y) = (0,0) \ end {मैट्रिक्स} \ सही। \ अंत {समीकरण}
\ शुरू {समीकरण} \ dfrac {\ आंशिक च} {\ आंशिक x} (0,0) = 0 = \ dfrac {\ आंशिक च} {\ आंशिक y} (0,0) \ अंत {समीकरण}
इससे वह इस प्रकार है $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ तथा $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ द्वारा निरंतर हैं $(0,0)$ य $f$ द्वारा विभेदित है $(0,0).$
क्या मेरे तर्क सही हैं? किसी भी सुझाव का स्वागत है।
जवाब
हमारे पास वह है
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^{2}}}{h} =\lim_{h\to 0}\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^3}=1$$
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{\dfrac{0}{2k^{2}+3k^4}}{k} =0$$
तब परिभाषा के अनुसार हमें इसकी जाँच करने की आवश्यकता है
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}}{h^{2}+2k^{2}+3k^{4}}-h}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{(h,k)\to (0,0)} \dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
जो वास्तव में सच है $a=2$
$$\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h(h^2+O(h^4))+2hk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=$$
$$=\dfrac{-3hk^4+O(h^5)}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}$$
फिर ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करें।
कुछ अलग दृष्टिकोण:
अलग-अलग होने के लिए, एक फ़ंक्शन निरंतर होना चाहिए और एक निरंतर व्युत्पन्न होना चाहिए (या एक आवश्यक विलक्षण के साथ व्युत्पन्न है)। निरंतरता के लिए आवश्यक है कि आप जिस बिंदु पर पहुंचें, वह आपके दृष्टिकोण की दिशा की परवाह किए बिना बिंदु के समान हो।
मान लीजिए हम लाइन के साथ पहुंचते हैं $x=y=\epsilon$। तब हमारे पास (इस तथ्य का उपयोग करते हुए)$\frac{d}{da}\sin^2(a)=\sin(2a)$: $$g(\epsilon)=f(\epsilon,\epsilon) = \frac{\epsilon\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{3\epsilon+3\epsilon^3}=\frac{1}{3}\frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{\epsilon+\epsilon^3}$$ $$g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\frac{(\epsilon+\epsilon^3)(\sin(2\epsilon)+2a\epsilon)-(\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2)(1+3\epsilon^2)}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6}$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\sin(2\epsilon)+2\epsilon\cos(2\epsilon)+4a\epsilon+3\epsilon^2\sin(2\epsilon)+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-\sin(2\epsilon)-2a\epsilon-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-3\epsilon^2\sin(2\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\epsilon\cos(2\epsilon)+2a\epsilon+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\cos(2\epsilon)+2a+2\epsilon^2\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^2-6\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^3}{2+8\epsilon^2+6\epsilon^4} = \frac{1}{3} \frac{2+2a}{2} = \frac{1+a}{3}$$
मान लीजिए हम लाइन के साथ पहुंचते हैं $-x=y=\epsilon$। तो हमारे पास हैं:$$h(\epsilon)=f(-\epsilon,\epsilon) = \frac{-\epsilon\sin^2(-\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{-\epsilon\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4}= -g(\epsilon)$$ $$h'(\epsilon)=-g'(\epsilon)$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}h'(\epsilon)=-\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=-\frac{1+a}{3}$$
दोनों दिशाओं में, व्युत्पन्न की सीमा मौजूद थी, और इसलिए क्योंकि दृष्टिकोण की दिशा कोई मायने नहीं रखती है, हमें आवश्यकता है कि सीमाएं समान हों। $\frac{1+a}{3}=-\frac{1+a}{3}$, जिसका अर्थ है कि $a=-1$।