गैर-मानक विश्लेषण के बजाय सामान्य विश्लेषण का उपयोग करके भौतिकी का अनुमोदन करना
जहां तक मुझे पता है, भौतिकी में, कैलकुलस में गैर-मानक विश्लेषण का उपयोग करके संपर्क किया जाता है $dx$, $dy$, आदि (इनफ़िनिटिमल्स) को तय सीमा के अनुसार मानक विश्लेषण दृष्टिकोण के बजाय बहुत कम मात्रा में निर्धारित किया जाता है, जहां वे दृष्टिकोणों के साथ व्यवहार किए जाते हैं $0$।
मैं समझता हूं कि गैर-मानक दृष्टिकोण बहुत सहज और समझने में आसान है। वास्तव में, मैं कुछ दिनों पहले तक अमानक दृष्टिकोण के माध्यम से कलन कर रहा था, जब मुझे infinitesimals से संबंधित दार्शनिक प्रश्नों का सामना करना पड़ा। मैं इस दृष्टिकोण के कारण बेहद भ्रमित हो गया और जब मैंने सीमा का उपयोग करते हुए पथरी का संपर्क किया, तो मुझे ऐसा लगा जैसे मुझे समझ और वैचारिक स्पष्टता का एक नया स्तर प्राप्त हो गया है।
अब, भौतिकी में, एक कार्य के लिए $f$, $f'(x)$ या $\dfrac{df}{dx}$ के परिवर्तन की दर के रूप में व्याख्या की गई है $f(x)$ में एक बहुत छोटे से परिवर्तन के साथ $x$, अर्थात $dx$। यह भी लगभग वक्र की स्पर्शरेखा के रूप में व्याख्या की है$f$ पर $(x,f(x))$। यह दृष्टिकोण और ज्यामितीय अंतर्ज्ञान भी पथरी के मौलिक प्रमेय को प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है जो बताता है कि यदि$F(a)$ के वक्र के तहत क्षेत्र देता है $f(x)$ से $x = 0$ सेवा $x = a$, अर्थात $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ फिर, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ कहाँ पे : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ गैर-मानक दृष्टिकोण का उपयोग कुछ सूत्रों को काम करने के लिए भी किया जाता है जो निम्नानुसार हैं:
- एक infinitesimal विस्थापन के लिए $dx$, infinitesimal काम किया अर्थात् $dW$ है $F_2(x)\cdot dx$
- काम की कुल राशि, यानी $W$, है $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (नोट: यहां, $F_2(x)$ स्थिति में कण द्वारा अनुभव किए गए बल को दर्शाता है $(x)$। उदाहरण के लिए, अगर हम इलेक्ट्रोस्टैटिक बल के बारे में बात कर रहे हैं,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$।)
तो, मूल रूप से, भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश पथरी को इन्फिनिटिसिमल और गैर-मानक विश्लेषण का उपयोग करके संपर्क किया जाता है।
लेकिन, मानक विश्लेषण मुझे अधिक कठोर लगता है और बहुत अधिक समझ में आता है। मैंने कुछ दोस्तों से पूछा है जिन्होंने अपने शिक्षकों से पूछा था कि कोई भी गैर-मानक विश्लेषण के बजाय भौतिकी में मानक विश्लेषण का उपयोग कर सकता है लेकिन शिक्षकों में से कोई भी परेशान नहीं हुआ।
इसलिए, मैं यह जानना चाहता हूं कि मैं मानक विश्लेषण के माध्यम से भौतिकी का रुख कैसे कर सकता हूं।
पुनश्च: मैं वर्तमान में 10 वीं कक्षा में हूं और अभी तक केवल 11 वीं कक्षा की मूल बातें ही कवर कर पाया हूं । एक जवाब जो मैं समझ सकता हूं कि उन्नत गणित के बारे में ज्यादा जानकारी नहीं दी जाएगी।
संपादित करें: मैं उन दो उत्तरों के लिए बहुत आभारी हूं जो मुझे पहले ही मिल चुके हैं। मैंने लापरवाही से यह मान लिया कि गैर-विश्लेषण और इन्फिनिटिसिमल का हेयुरिस्टिक उपयोग एक है और ऐसा नहीं है, जो कि मामला नहीं है, जैसा कि उपयोगकर्ताओं Qmechanic और PM 2Ring द्वारा बताया गया है । मैं स्पष्ट करना चाहूंगा कि जब भी मैंने 'अमानवीय विश्लेषण' शब्द का इस्तेमाल किया, तो मैं वास्तव में इसके उपचार की बात कर रहा था$dy$, $dx$, आदि वास्तविक, बहुत कम संख्या और के रूप में $\dfrac{dy}{dx}$ अनुपात के रूप में ...
जवाब
तो, मूल रूप से, भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश कैलकुलस का उपयोग इन्फिनिटिमल्स और गैर मानक विश्लेषण का उपयोग करके किया जाता है।
यह आधार असत्य है। जबकि शिशु विज्ञानियों के बारे में तर्क "गैर-मानक विश्लेषण" में विशिष्ट तर्कों से मिलते-जुलते हो सकते हैं, प्राथमिक भौतिकी आमतौर पर कठोरता के स्तरों पर काम नहीं करती है जहां आप स्पष्ट रूप से तय कर सकते हैं कि यह गैर-मानक विश्लेषण का उपयोग कर रहा है या नहीं। भौतिकी विश्लेषण के मूलभूत प्रश्नों में कोई दिलचस्पी नहीं है, और उदाहरण के लिए एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इसके ढलान के लिए एक सन्निकटन है, चाहे आप किस नींव का उपयोग कर रहे हों (यह आपकी नींव के आधार पर इसे प्राप्त करने के लिए अधिक या कम काम हो सकता है, लेकिन यह अभी भी है अटल सत्य)।
यदि आप कठोरता की तलाश कर रहे हैं, तो अक्सर मानक अंतर रूपों के संदर्भ में भौतिक "infinitesimals" की समान रूप से वैध व्याख्या होती है , जैसे:$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ बस 1-फॉर्म की परिभाषा कहलाती है $\mathrm{d}W$, जिनके पथ पर अभिन्न $\gamma$ कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ रास्ते के साथ साथ।
एनएसए और मानक विश्लेषण के बीच कठोरता में कोई अंतर नहीं है। (मॉडल सिद्धांत के संदर्भ में, वे समवर्ती हैं।) हालांकि, आप जो अधिकांश इन्फिनिटिकल कैलकुलस भौतिकी के कागजात और किताबों में देखते हैं, उसे एनएसए में बनाने के लिए थोड़ा या फिर से काम करना होगा।
यह आम तौर पर दो भाषाओं के बीच आगे और पीछे अनुवाद करने के लिए तुच्छ है। वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को दोनों में धाराप्रवाह होना चाहिए।