गैर-समरूप पुनरावृत्ति संबंध को हल करने के लिए उत्पादक कार्यों का उपयोग करें
लश्कर $a_0=0, a_1=2,$ तथा $a_2=5$। पुनरावृत्ति समीकरण को हल करने के लिए उत्पादक कार्यों का उपयोग करें:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ के लिये $n\geq0$।
यह एप्लाइड कॉम्बिनेटरिक्स की एक पुस्तक समस्या है। मैं वास्तव में निपटने के बारे में उलझन में हूं$2^n$ उत्पन्न कार्यों का उपयोग करके पुनरावृत्ति संबंध का हिस्सा।
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मुझे पता है कि मुझे पुनरावृत्ति को श्रृंखला में बदलने की आवश्यकता है और मैंने इसे तोड़ दिया है, लेकिन आंशिक अंशों को करने के लिए इसे उचित रूप में प्राप्त करने के लिए संघर्ष कर रहा हूं। ये वे समीकरण हैं जिन्हें मैं प्राप्त करने में कामयाब रहा हूं।
अगर हम दें $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ के लिए उत्पादक कार्य हो $a_n$ फिर गणना के बाद मुझे मिला:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
सरलीकरण के बाद: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
फिर, आंशिक अंश अपघटन है: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
मैंने मूल्यों में प्लग करने की कोशिश की है, लेकिन कुछ सही नहीं लगता है। कृपया मुझे बताएं कि मैं कहां गलत हो गया हूं।
जवाब
आपने जनरेटिंग फंक्शन व्युत्पत्ति में कहीं गलती की है (यह बताना मुश्किल है कि चूंकि आपने इस भाग को शामिल नहीं किया है), मुझे मिल गया है
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} जो हल करती है \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} अपने समाधान की जांच करें, उम्मीद है कि आप इसे यहां से समाप्त कर सकते हैं।