घातीय वस्तुओं वाले वर्ग की दो परिभाषाओं के बीच समानता
उत्पादों के साथ एक श्रेणी के लिए कहा जाता है कि सभी वस्तुओं के लिए घातांक है$x, y$ एक वस्तु मौजूद है $y^x$ एक तीर से लैस $e\colon x\times y^x\to y$ ऐसा सभी वस्तुओं के लिए $z$ और सभी तीर $f\colon x\times z\to y$ एक अनूठा तीर है $\bar{f}\colon z\to y^x$ संतोषजनक $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$।
मैं देखता हूं कि यदि किसी श्रेणी में घातांक है, तो $f\mapsto \bar{f}$ के बीच एक प्राकृतिक समरूपता है $hom(x\times z, y)$ तथा $hom(z, y^x)$ विलोम के साथ $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$। इसलिए फनकार$x\times (-)$ से सटा हुआ है $(-)^x$।
मैं समझ के बारे में सोच रहा हूँ: अगर $C$ इस तरह के उत्पादों के साथ एक श्रेणी है $x\times (-)$ एक सही निर्णय है, क्या इसका पालन किया जाता है $C$ घातांक है?
विशेष रूप से, अगर हम बस मान लेते हैं $x\times (-)$ एक सही निर्णय है, हम कैसे लैस करते हैं $y^x$ तीर के साथ $e\colon x\times y^x\to y$। इसके अलावा, हम उस समीकरण को कैसे घटाते हैं$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ ठीक है?
किसी तरह एक सही आसन्न का अस्तित्व $x\times (-)$ ऊपर दी गई घातांक वाली श्रेणी की सार्वभौमिक संपत्ति परिभाषा की तुलना में कमजोर और अधिक सारहीन महसूस करती है।
जवाब
मुझे लगता है कि एक वस्तु का चयन करने के लिए एक एसी की आवश्यकता है $y^x$ प्रत्येक के लिए $x$ तथा $y$।
इसे स्वीकार करते हुए, एक को तीर मिलता है $e$आसन्न में इकाइयों / counits की औपचारिकता से। अगर$F$ का एक सही निर्णय है $x\times(-)$ फिर स्वाभाविक रूप से, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ लेना $a=Fy$। फिर$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ बचे हुए नक्शे पर पहचान एक समरूपता की ओर $e:x\times Fy\to y$दायीं तरफ। हम बदनाम कर रहे हैं$Fy$ जैसा $y^x$, और इस $e:x\times y^x\to y$ घातांक नक्शा है।