हाइपरजोमेट्रिक का बंद रूप $\, _4F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right)$

Question

लश्कर $f(z)=\sqrt[3]{\sqrt{z^2-z^3}+z}$, $g(z)=\sqrt{\frac{f(z)}{z}+\frac{1}{f(z)}}$ , फिर यह कैसे साबित किया जाए $\ 0<z<1$:

$$\small \, _4F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right)=\frac{4 \sqrt[4]{2} }{3 \sqrt{3}}\left(g(z)-\sqrt{-\frac{f(z)}{z}+\frac{2 \sqrt{2}}{z g(z)}-\frac{1}{f(z)}}\right)^{3/2}$$

इस फॉर्मूले को वोल्फ्राम फंक्शंस साइट से एकत्र किया गया है लेकिन वहां कोई सबूत नहीं दिया गया है। मुझे लगता है कि यह एक कठोर प्रमाण खोजने के लिए योग्य होगा, साथ ही इस सूत्र की प्रेरणा की जांच करने के लिए सामान्यीकृत हाइपरमेट्रिक श्रृंखला के समान बीजीय बंद-रूपों को उत्पन्न करने के लिए (बहुत संभावना है, उनकी$_2F_1$श्वार्ज़ की सूची में प्रतिपक्ष) हैं। किसी भी तरह की सहायता को आभार समझेंगे!

Answer 1

निम्नलिखित सूत्र का कुछ हद तक फैला हुआ सबूत है, लेकिन वास्तव में केवल दो मुख्य चरण हैं। कुंजी "अवलोकन" (!) यह है कि दाहिने हाथ की ओर कोष्ठक में अभिव्यक्ति चतुर्थक बहुपद की जड़ों में से एक के लिए आनुपातिक है$z x^4 - 4 x + 3$। इस प्रकार हम पहले यह साबित कर सकते हैं कि कोष्ठकों में अभिव्यक्ति वास्तव में चतुर्थांश को हल करती है, फिर हम यह साबित करते हैं कि दिए गए हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन क्वार्टिक रूट के इस विशेष फ़ंक्शन के बराबर हैं।

पहले चरण के लिए, हम केवल चतुर्थांश जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं । विकिपीडिया पर सूत्र एक सामान्य चतुर्थांश के लिए लिखे गए हैं$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e$, और यहाँ दोहराने के लिए काफी बोझिल हैं, लेकिन हमारे लिए $b = c = 0$, तो उन अभिव्यक्तियों में से कई सरल करते हैं। आपके लिए कुछ मध्यवर्ती सत्यापन छोड़कर, मैं यह बताऊंगा$\Delta_0 = 36z$, $\Delta_1 = 432z$ तथा $p = 0$, इसलिए $$ Q = 6 \sqrt[3]{z + \sqrt{z^2-z^3}} = 6 f(z)\ , $$ जिसका मतलब है कि $$ S=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}\ . $$ इस प्लगिंग और $q = - 4/z$ जड़ों के लिए अंतिम सूत्र में, हम प्राप्त करते हैं $$ x_{u, v} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(u\sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}+v\sqrt{-\left(\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}\right)+2\sqrt{2} v\left/\sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}\right.}\right)\ . $$ ले रहा $u=\pm 1$ तथा $v = \pm 1$हमें चार मूल देता है। आपकी अभिव्यक्ति में जो जड़ है वह है$x_{1,-1}$।

(उत्तर की शुरुआत में दूर का "अवलोकन" पहले से चतुर्थक सूत्र को जानने की आवश्यकता है। चूंकि चतुर्थांश में समाहित है। $$ Q = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}}\ , $$ हो सकता है कि कोई इसे काट ले $f(z)\propto Q$एक चतुर्थक के लिए मूल सूत्र में क्योंकि शक्तियां और जड़ें मेल खाती हैं। ऐसा होने के लिए, हम दोनों की जरूरत है$\Delta_0$ तथा $\Delta_1$ के बराबर होना $z$। आगे के रूप में मैच के लिए$S$, हमें भी जरूरत है $p = (8ac - 3 b^2)/8a^2 = 0$। उत्तरार्द्ध बाधा को संतुष्ट करने के लिए हम अनुमान लगाते हैं कि$b =c = 0$। पूर्व बाधा तब हमें यह अनुमान लगाने के लिए मजबूर करती है$a$ के लिए आनुपातिक है $z$।)

आगे हम वो दिखाना चाहेंगे ${}_4 F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right) = \left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$। (आइए इस अभिव्यक्ति को निरूपित करते हैं$(\star)$बाद के संदर्भों के लिए।) ऐसा करने के लिए, हम पहले यह साबित करते हैं कि दाहिने हाथ की तरफ का कार्य एक सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक डिफरेंशियल समीकरण को संतुष्ट करता है , और फिर कुछ निश्चित अतिरिक्त प्रारंभिक स्थितियां प्राप्त करता है, जो हमें एक विशेष समाधान देती है जो बाएं हाथ की ओर के बराबर होती है।

सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक समीकरणों का विशेष मामला जो हमें देखना चाहिए $$ \begin{multline} z \frac{d}{dz} \left(z \frac{d}{dz} + b_1 - 1\right) \left(z \frac{d}{dz} + b_2 - 1\right) \left(z \frac{d}{dz} + b_3 - 1\right) y(z)\\ = z \left(z \frac{d}{dz} + a_1\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_2\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_3\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_4\right) y(z)\ , \end{multline} $$ कहाँ पे $a_1 = \frac{3}{8}, a_2=\frac{5}{8}, a_3 = \frac{7}{8}, a_4=\frac{9}{8}$ तथा $b_1 = \frac{5}{6},b_2 = \frac{7}{6},b_3 = \frac{9}{6}$। यह है$4$ रैखिक स्वतंत्र समाधान, जिनमें से एक है ${}_4 F_3(a_1, a_2, a_3, a_4; b_1, b_2, b_3;z)$। अन्य समाधान फार्म के हैं$z^{1-b_i} {}_4 F_3(1+a_1-b_i, 1 + a_2-b_1,1+a_3-b_i,1+a_4-b_i;1+b_1-b_i,\dots, 2-b_i;z)$।

हम सत्यापित कर सकते हैं कि $\left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$डेरिवेटिव के सभी, और सरलीकरण में इसे प्लग करके अंतर समीकरण को हल करता है। हालांकि, यह गणितज्ञ की मदद से भी एक कठिन काम है। यहां मैं एक अलग विधि प्रस्तुत करता हूं जो विपरीत दिशा में जाता है, अर्थात, हम एक विभेदक समीकरण का निर्माण करेंगे, जिसे अंतर रिसोल्वेंट कहा जाता है$\left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$ satisifes, जो सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक समीकरण से ऊपर हो जाएगा।

यहां निर्माण इस उत्तर में वर्णित प्रक्रिया के लिए बहुत अनुकरणीय है । अनिवार्य रूप से हम जो करेंगे, वह डेरिवेटिव के रैखिक संयोजन को लिखेगा$y(z)$ यह निश्चित संबंधों के कारण शून्य होने के लिए मजबूर है कि ये व्युत्पन्न व्यंग्य करते हैं, जो एक बीजीय समीकरण से प्राप्त होते हैं $y$खुद को संतुष्ट करता है। जबसे$x(z) = \left(\frac{4}{3} y(z)\right)^{3/2}$ संतुष्ट $z x^4 - 4x +3$, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं $y$, $$ \frac{81}{256} z y^{8/3} - 3 y^{2/3} + 3 = 0\ . $$ हम इस समीकरण को सभी व्युत्पन्न व्यक्त करने के लिए अलग-अलग कर सकते हैं $y$ के अनुसार $y$ तथा $z$। हम गुणांक ढूंढना चाहते हैं$\mu_i(z)$ जो निम्न अभिव्यक्ति को शून्य बनाते हैं, $$ \mu_0 y''''(z) + \mu_1 y'''(z) + \mu_2 y''(z) + \mu_3 y'(z) + \mu_4 y(z) + \mu_5\ . $$ के भावों का प्रयोग करना $y^{(n)}(z)$ पहले से व्युत्पन्न, यह एक तर्कसंगत कार्य के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $y^{1/3}$ जिसका अंश एक बहुपद है $y^{1/3}$कुछ उच्च डिग्री के। हम के लिए बीजगणितीय समीकरण का उपयोग कर सकते हैं$y$ से कम करने के लिए इस बहुपद की डिग्री को कम करने के लिए $8/3$। अब हम इस अभिव्यक्ति को शून्य होने के लिए मजबूर करते हैं, जो यह कहना है कि प्रत्येक शक्ति के गुणांक$y^{1/3}$ होना चाहिए $0$। इन स्थितियों से हम हल कर सकते हैं$\mu_i$ के अनुसार $z$, और अंत में निम्नलिखित अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं। $$ \begin{multline} (z^3-z^4)y''''(z) + \left(\frac{13}{2}z^2-9z^3\right)y'''(z) \\ + \left(\frac{305}{36}z - \frac{615}{32}z^2\right)y''(z) + \left(\frac{35}{24} - \frac{555}{64}z\right)y'(z) - \frac{945}{4096} y(z) = 0\ . \end{multline} $$हम सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक समीकरण के मापदंडों में प्लग कर सकते हैं और यह पुष्टि करने के लिए सरल कर सकते हैं कि यह वास्तव में अंतर रिज़ॉल्वेंट के समान है। यह प्रक्रिया थकाऊ है और गणितज्ञ की सहायता से कठिन नहीं है, इसलिए मैं इसे यहां रिकॉर्ड नहीं करूंगा। फिर भी, थोड़ा और स्पष्ट होने के लिए, मैं कहूंगा कि समीकरण सरल हो जाता है$$ \begin{multline} (z^3-z^4) y''''(z) + [(t_1 + 3)z^2 - (s_1 + 6)z^3]y'''(z) + \\ [(t_1+t_2+1)z-(3s_1+s_2+7)z^2]y''(z) + [t_3 - (s_1+s_2+s_3+1)z]y'(z) - s_4 y(z) = 0 \end{multline} $$ कहाँ पे $s_i$ तथा $t_i$ डिग्री हैं $i$ प्राथमिक सममित बहुपद में$a_1,a_2, a_3, a_4$ तथा $b_1, b_2, b_3$, क्रमशः। उम्मीद है कि यह हाथ से सत्यापित करना आसान है।

अंत में, विभेदक समाधान के विशेष समाधान को खोजने के लिए जो कि व्यंग्य करता है $(\star)$, हम शुरुआती स्थितियों को प्रदान करने के लिए दाहिने हाथ की ओर के डेरिवेटिव का उपयोग कर सकते हैं जो विशेष समाधान को पिन करेगा। इन डेरिवेटिव का आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है, चूंकि अंतर रिज़ॉल्वेंट के निर्माण के पहले चरण में, हमने फ़ंक्शन के मूल्यों के संदर्भ में डेरिवेटिव पहले ही व्यक्त किया है।