हैमिल्टन के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सकारात्मक ऊर्जा की स्थिति अलग-अलग टाइमलाइक किलिंग वैक्टर से जुड़ी है
Unruh प्रभाव एक प्रसिद्ध उदाहरण है जिसमें दो हैमिल्टन हैं $H$ तथा $\hat H$दोनों अलग-अलग टाइमलीक किलिंग वेक्टर क्षेत्रों से जुड़े हुए हैं, दोनों का निचला हिस्सा एक ही हिल्बर्ट-स्पेस प्रतिनिधित्व में है, भले ही वे किसी भी स्पेसटाइम आइसोमेट्री द्वारा एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं। यह प्रश्न एक सामान्यीकरण के बारे में पूछता है।
फ्लैट स्पेसटाइम में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करें, हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर अभिनय करने वाले क्षेत्र ऑपरेटरों के संदर्भ में व्यक्त किया गया है। चलो$K$ तथा $\hat K$दो अलग-अलग टाइमलाइक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स हों, जरूरी नहीं कि किसी भी आइसोमेट्री द्वारा एक-दूसरे से संबंधित हों, और जरूरी नहीं कि पूरे स्पेसटाइम को कवर किया जाए। (एक उदाहरण के रूप में, Rindler निर्देशांक के बारे में सोचो।) आज्ञा देना$R$ स्पेसटाइम का क्षेत्र हो जिसमें किलिंग वेक्टर क्षेत्र दोनों को परिभाषित किया गया हो, और वे वेधशालाओं के बीजगणित पर विचार करते हैं $R$। चलो$H$ तथा $\hat H$ ऑपरेटर (हैमिल्टनियन) बनें जो इन वेधशालाओं के अनुवादों का निर्माण करते हैं $K$ तथा $\hat K$, क्रमशः।
प्रश्न: मान लीजिए कि बीजगणित को हिल्बर्ट स्थान पर इस तरह से दर्शाया गया है, जैसे कि हैमिल्टन के किसी एक का स्पेक्ट्रम$H$एक निचली सीमा है। क्या इसका मतलब यह है कि दूसरे हैमिल्टन का स्पेक्ट्रम$\hat H$ यह भी एक कम बाध्य है (एक ही हिल्बर्ट-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व में)?$^\dagger$
मैं एक वाटरटाइट प्रूफ की तलाश नहीं कर रहा हूं, बस एक सम्मोहक तर्क है - कुछ स्पष्ट है कि मैं एक मुक्त क्षेत्र सिद्धांत में प्रत्येक चरण की जांच कर सकता हूं।
वैसे, इस मामले में यह परिचित नहीं है: हैमिल्टन घनत्व घनत्व क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सकारात्मक निश्चित रूप से सकारात्मक नहीं है, यहां तक कि एक प्रतिनिधित्व में भी नहीं जहां हैमिल्टन स्वयं सकारात्मक परिभाषा है। Fewster (2005) "क्वांटम फील्ड थ्योरी में ऊर्जा असमानताएं" देखें,https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, जो कहता है (पृष्ठ 2):
क्वांटम क्षेत्र लंबे समय से ऐसी सभी बिंदुवार ऊर्जा स्थितियों का उल्लंघन करने के लिए जाने जाते हैं [4] और, कई मॉडलों में, ऊर्जा घनत्व वास्तव में शारीरिक रूप से उचित राज्यों की श्रेणी में नीचे से बाहर की ओर है।
$^\dagger$ यह प्रश्न संदर्भित करता है कि ऑपरेटरों को एक हिल्बर्ट स्थान पर कैसे प्रतिनिधित्व किया जाता है। वह महत्वपूर्ण है क्योंकि$H$आम तौर पर अधिकांश हिल्बर्ट-स्पेस अभ्यावेदन में एक निचला बाउंड नहीं होता है, भले ही यह उनमें से एक में हो। स्पेक्ट्रम की स्थिति एक विशिष्ट हिल्बर्ट-स्पेस प्रतिनिधित्व की एक संपत्ति है, न कि वेधशालाओं के सार बीजगणित की एक संपत्ति।
जवाब
इसका उत्तर नहीं है , और विडंबना यह है कि जिस उदाहरण का उपयोग मैंने प्रश्न को प्रेरित करने के लिए किया था, वह वास्तव में प्रतिवाद है: रिंडलर हैमिल्टन के स्पेक्ट्रम की सीमा कम नहीं है।
रिंडलर हैमिल्टनियन मिंकोव्स्की स्पेसटाइम में वृद्धि करता है। तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति समीकरण (25) में दिखाई गई है
- जैकबसन, "ब्लैक होल और हॉकिंग विकिरण इन स्पेसटाइम और इसके एनालॉग्स", https://arxiv.org/abs/1212.6821
यह अभिव्यक्ति स्पष्ट करती है कि रिंडलर हैमिल्टन की सीमा कम नहीं हो सकती।
सहानुभूति से यह स्पष्ट होता है। एक बढ़ावा का व्युत्क्रम एक स्थानिक प्रतिबिंब के साथ संयुक्त एक बढ़ावा के रूप में ही है। एक स्थानिक प्रतिबिंब स्पेक्ट्रम को नहीं बदलता है, लेकिन व्युत्क्रम स्पेक्ट्रम के संकेत को प्रवाहित करता है। एकमात्र तरीका ये हो सकता है अगर स्पेक्ट्रम शून्य के बारे में सममित है। इसलिए, यदि स्पेक्ट्रम में ऊपरी बाउंड नहीं है, तो इसका निचला बाउंड नहीं हो सकता है।
टिप्पणियाँ:
जैकबसन का पेपर (ऊपर उद्धृत) केवल एक "रिंडलर वेज" को एकीकृत करके प्राप्त किया गया एक आंशिक हैमिल्टन मानता है, लेकिन यह एकीकरण की सतह काची सतह नहीं है। कॉची सतह पर पूर्ण हैमिल्टन को देखने के लिए, हमें बाएं और दाएं रिंडलर को एक साथ जोड़ने पर विचार करने की आवश्यकता है, और फिर यह स्पष्ट है कि पूर्ण हैमिल्टन का निचला हिस्सा नहीं हो सकता है।
इस बात से सावधान रहें कि कुछ गैर-प्रभाव वाले साहित्य "शून्य-स्थिति" नाम को "सबसे कम-ऊर्जा वाली स्थिति" से कुछ अलग करने के लिए स्पष्ट रूप से परिभाषित करते हैं।
कुछ सूक्ष्मताओं के सावधानीपूर्वक विश्लेषण के लिए, आवश्यक देखें, "रिन्डलर और मिंकोव्स्की क्वांटम फील्ड थ्योरी के बीच कठोर दृश्य में कठोर संबंध," https://arxiv.org/abs/1804.09403
QFT (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) में लैग्रैनिजेंस घनत्व $\mathcal L$का निर्माण लोरेंत्ज़ आक्रमणकारी के रूप में किया जाता है। लैग्रैन्जियन के आधार पर आप हैमिल्टनियन घनत्व का निर्माण करते हैं$\mathcal H$, जो सकारात्मक निश्चित होने का अनुरोध किया जाता है।
यदि आप संदर्भ प्रणाली को बदलते हैं, तो औपचारिक रूप से Lagrangian नहीं बदलता है, इसलिए हैमिल्टन या तो नहीं होगा। नतीजतन हैमिल्टन की सकारात्मक निश्चितता बनी रहेगी, भले ही वह रूपांतरित क्षेत्रों पर लागू हो।
मान लीजिए कि आप मिन्कोवस्की वैक्यूम शुरू कर सकते हैं $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$। फिर किसी भी समय की तरह किलिंग वेक्टर (जो मैं समय-काल वक्र या कुछ त्वरित पर्यवेक्षक के रूप में निर्दिष्ट करने के बारे में सोचूंगा) हम पूछ सकते हैं कि क्या वैक्यूम है। स्थानीय रूप से अंतरिक्ष में जिस क्षेत्र में हत्या क्षेत्र को परिभाषित किया गया है उसे रिंडलर निर्देशांक के रूप में रखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, उचित समय के प्रत्येक उदाहरण पर हम जानते हैं कि त्वरण क्या है और सामान्य सहसंयोजक आपको बताता है कि स्थानीय रूप से भौतिकी मिंकोव्स्की स्थान के समान है। तो इस प्रेक्षक के लिए मिंकोवस्की वैक्यूम को थर्मल स्थिति की तरह दिखना चाहिए, शायद एक अलग तापमान के साथ। दूसरे शब्दों में, एक त्वरित पर्यवेक्षक हमेशा एक प्रभावी क्षितिज देखता है, जिससे कोई तापमान निर्दिष्ट कर सकता है, इसलिए आपके प्रश्नों का उत्तर उन्मुक्त प्रभाव से दिया जाना चाहिए।