हम कैसे संलग्न करते हैं $2$-सेल?

Question

यह हैचर की बीजगणितीय टोपोलॉजी से एक समस्या है

"प्राप्त अंतरिक्ष के होमोलॉजी की गणना करें $D^2$ सबसे पहले दो आंतरिक उपखंडों के अंदरूनी हिस्सों को हटाना $D^2$ और फिर इन हलकों के दक्षिणावर्त झुकाव को संरक्षित करने वाले होमियोमॉर्फिम्स के माध्यम से सभी तीन परिणामी सीमा हलकों की पहचान करना। "

मुझे यहां एक समाधान मिला https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf। फोटो से आप देख सकते हैं कि समाधान सीडब्ल्यू संरचना का उपयोग करता है और कहा$2$-सेल $U$ शब्द से जोड़ता है $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$। मेरा सवाल है: ऐसा क्यों है?

मुझे संलग्न करना अधिक तर्कसंगत लगता है $U$ सेवा $abab^{-1}cac^{-1}$चूँकि हम चाहते हैं कि सभी 3 मंडलियां दक्षिणावर्त हों। मैं प्रक्रिया को अस्पष्ट रूप से समझ सकता हूं: हम शुरू करते हैं$x$, फिर हम घूमते हैं $a$, अब हम गुजरते हैं $b$ बाहरी से आंतरिक सर्कल तक पहुंचने के लिए, और फिर हम चारों ओर जाते हैं $a$ फिर, फिर हम उसी के लिए करते हैं $c$। लेकिन जब हम अंदर पहुंचते हैं तो हम वामावर्त क्यों होते हैं?

Answer 1

अपने आप को अंदर बैठा हुआ समझो $U$और सोचें कि सीमा कैसे घूमती है। आप शीर्ष पर शुरू करते हैं$x$ इसके बाद बाहरी सर्कल में एक दक्षिणावर्त यात्रा करें ($a$), फिर खंड के साथ चलना $b$ (अब आप कर चुके हैं $ab$) फिर एक भीतर का गोला बाएं बाएँ घेरे के साथ ($aba^{-1}$), फिर वापस साथ $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) आदि।

मुद्दा यह है कि जब आप अंदर हों $U$आंतरिक हलकों के साथ चलने वाले एंटिक्लॉकवाइज हैं; बाहरी सर्कल के चारों ओर चलने की दिशा में विपरीत। बस याद है कि के आंतरिक$U$ हमेशा उसी तरफ होता है जैसे कोई अपनी सीमा के साथ चलता है।