होमोटॉपी सिद्धांत प्रमेय के लिए अनुरोधित संदर्भ

Question

मैं इस पद पर आया था: कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड के होमोटोपी समूह, जो बताता है कि वास्तव में मुझे एक प्रमेय की आवश्यकता है जिसके लिए मैं काम कर रहा हूं। हालांकि, मुझे एक संदर्भ की आवश्यकता होगी, क्योंकि दर्शकों को होमोटॉपी सिद्धांत में बहुत अच्छी तरह से वाकिफ नहीं होना चाहिए।

क्या कोई सुझाव दे सकता है कि मुझे इसका परिणाम कहां मिल सकता है:

प्रमेय: हर बंद, जुड़ा हुआ चिकना$d$-मानव $M$ एक निरंतर और नहीं nullhomotopic नक्शा है $f: S^{d'} \rightarrow M$ कुछ क्षेत्र के लिए $S^{d'}$ साथ से $1 \leq d' \leq \dim(M)$।

दूसरे शब्दों में, अगर $M$ एक बंद और जुड़ा हुआ कई गुना है तो एक गैर तुच्छ है $\pi_{d'}(M)$ कुछ के लिए $d'\leq \dim(M)$।

Answer 1

यह एक संदर्भ नहीं बल्कि एक छोटा सा प्रमाण है:

यदि नहीं, तो साथ $d'=1$ हम देखते है कि $M$ बस-कनेक्ट करना होगा।

विशेष रूप से, यदि इसकी होमोलॉजी समूह सभी गायब हो जाते हैं, तो $M$अनुबंधीय है। लेकिन आयाम में समरूपता समूह$> \dim(M)$ हमेशा गायब हो जाते हैं, और परिकल्पना का अर्थ है (Hurewicz द्वारा) कि आयाम में समरूपता समूह $\leq \dim(M)$ लुप्त भी।

यह बताता है कि $M$ अनुबंध योग्य है, जो कि पोनकारे द्वैत (या तो मॉड) द्वारा असंभव है $2$, या अभिन्न रूप से क्योंकि $M$ बस जुड़ा हुआ है)

अधिक सीधे शब्दों में कहें: $M$ मॉड है $2$-अर्थात, इसलिए यह nontrivial आधुनिक होना चाहिए $2$-कोमोलॉजी, यह आयाम में होना चाहिए $\leq \dim(M)$, लेकिन परिकल्पना का तात्पर्य है, Hurewciz प्रमेय द्वारा नहीं।