इरेड्यूसबल पॉलीनोमियल का इतिहास और उनके लिए प्रेरणा
मैं irreducible बहुपद के इतिहास के बारे में सोच रहा हूं और उन्हें क्यों पेश किया गया। मैंने पाया कि उनके लिए बहुपद और अंकन की उत्पत्ति क्या है? , लेकिन यह सामान्य रूप से बहुपद के बारे में है।
क्या कोई भी इर्रिसेबल पॉलीओनियम्स को शुरू करने और उसका अध्ययन करने की ऐतिहासिक प्रेरणा का वर्णन कर सकता है? मैं उसके लिए कुछ संदर्भ लेना पसंद करूंगा।
जवाब
मैं बहुपद समीकरणों को सुलझाने और बहुपद को हल करने के पूर्व इतिहास को छोड़ दूंगा। मुझे बताएं कि संख्या और बहुपद के लंबे विभाजन के बीच का मध्ययुगीन इस्लामिक गणितज्ञ अल-सामवल वापस आ जाता है, देखें कि किसने छोटे और लंबे विभाजन का आविष्कार किया था? , और बहुपद के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को डेसकार्टेस के एक युवा समकालीन हुडडे द्वारा अनुकूलित किया गया था, सुजुकी, द लॉस्ट कैलकुलस देखें ।
इरेड्यूसिबल का उचित इतिहास गॉस के डिस्क्वायरीज़ अरिथमेटिका (1801) में साइक्लोटोमिक पॉलीओनियम्स से शुरू होता है । उनकी प्रेरणा सीधे और कम्पास के साथ एक सर्कल में नियमित बहुभुजों को अंकित करने से संबंधित थी, और एक गुप्त टिप्पणी ने एक सामान्यीकरण को लेमनस्केट की ओर इशारा किया। प्रारंभिक सिद्धांत "उच्च अनुरूपता" के संदर्भ में विकसित किया गया था, बहुपद समीकरणों मोडुलो प्रिम्स और उनकी शक्तियां, कॉक्स की व्हाई आइजेंस्टीन साबित हुई आइसेन्स्टाइन मानदंड और डिकसन का इतिहास संख्याओं के सिद्धांत, ch। VIII । कुमेर और डेडेकिंड द्वारा सामान्य संख्या के छल्ले का अध्ययन एक ही स्रोत से हुआ।
गॉस ने साबित किया कि प्रमुख सूचकांकों वाले साइक्लोटोमिक पॉलीओनियल्स इरेड्यूबल हैं (उन्होंने इस तरह की शब्दावली का इस्तेमाल नहीं किया)। इसके पाठ्यक्रम में उन्होंने इरेज़ुबिलिटी, गॉस की लेम्मा पर पहला सामान्य परिणाम साबित किया । इससे भी अधिक प्रासंगिक था, डिस्क्रिबिशंस अरिथमेटिका का अप्रकाशित खंड 8 , डिस्क्वाइमेशन्स जनरल डी कॉन्ग्रेयूएंटिस शीर्षक , जहां गॉस ने "बहुपद बधाई" मॉडुलो का अध्ययन किया$p$, यानी बहुपद में $\mathbb{F}_p[x]$आधुनिक शब्दों में, फ्रे को, अप्रकाशित खंड आठ देखें । उन्होंने कहा कि विडंबनापूर्ण राक्षसी बहुपद की संख्या में गिना$\mathbb{F}_p[x]$, और इसके पाठ्यक्रम में हेन्सेल के लेम्मा के एक मामले को साबित किया। लेकिन यह सब केवल 1863 (1876 में पूर्ण संस्करण) में Dedekind द्वारा प्रकाशित धारा 8 के बाद ही उपलब्ध हो गया, और इस बीच दूसरों द्वारा फिर से खोजा गया, विशेष रूप से Schönemann और खुद Dedekind।
लेकिन यहां तक कि प्रकाशित हिस्से एबेल और गैलोज़ के लिए पर्याप्त प्रेरणा थे। हाबिल की इरेडियुस्बिलिटी प्रमेय , ऐसा नहीं है, जो उसके Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement (1829) में दिखाई दिया । हाबिल को गौस की टिप्पणी के अनुसार, एक चक्र को समान भागों में विभाजित करने पर गॉस के परिणाम के लेमिनेट करने के लिए उसके पहले के विस्तार के द्वारा इसका नेतृत्व किया गया था। गैलोज़ के नोट में सुर ला प्राइरी डेस नॉम्र्स (1830 में, यह अंग्रेजी अनुवाद के साथ oisvariste Galois के गणितीय लेखन में दिखाई देता है ) हम " अपरिवर्तनीय " शब्द को देखते हैं , हालांकि इसे बहुपदों के बजाय बधाई के लिए लागू किया जाता है, और परिमित क्षेत्रों का एक संबंधित निर्माण ।
लेकिन एक दो भाग के पेपर ग्रुन्ज्यूज एनेर ऑलगेमिनेन थेरि डेर होहर्न कांग्रुजेन (1845) और वॉन डेनजेनजेन मोडुलन, वेलचे पोटेनजेन वॉन प्राइमेलेनिन सिंड (1846) में शोमेनैन ने स्वतंत्र रूप से गॉस और गैलोज दोनों के परिणामों को फिर से खोजा। विशेष रूप से, वह बहुपद के लिए "विडंबनापूर्ण" लागू करता है, और एक सामान्य समस्या बताता है: " जांच करने के लिए कि क्या एक विडंबनापूर्ण बहुपद modulo की शक्ति$p$ है या इरेड्यूसबल मोडुलो नहीं है $p^m$", जो वह अब इरेड्यूसिबिलिटी की " ईसेनस्टीन कसौटी " कहा जाता है के एक संस्करण का उपयोग करके हल करता है (मोटे तौर पर वैन डेर वेर्डेन के ओवरसाइट के कारण)। ईसेनस्टीन ने मानदंड को फिर से विभाजित करते हुए लेमनिस्किट पर एबेल के प्रमेय को दोहरा दिया, और एक पत्र में विचार साझा किया। 1847 में गॉस के लिए, लेकिन प्रकाशित संस्करण केवल उबेर मर इर्रेडिक्टबिलिटैट अंड ईइनिज और ओरे एगेनशैफ्टेन डेर ग्लीचुंग (1850) में दिखाई दिए । कई लेखकों ने उस बिंदु से उच्चतर बधाई पर काम किया, जैसे मैथियो, सेरेट, डेडेकिंड, क्रोनकर, जॉर्डन, वेबर। आदि।
डेडेकिंड के हाथों में, अब्री एनेर थेरेर डेर होहगेन कॉंग्रूज़ेन के बाद बज़ुग एफ़ एनीन रेलेन प्रिमज़ल-मॉडुलस (1857) में, कहानी ने एक और घिनौना मोड़ ले लिया जिसने आधुनिक रिंग सिद्धांत को जन्म दिया। बाद में डेडेकिंड ने रिंग्स और आदर्शों को पेश करके गॉस, गैलोज, श्योनेमैन और कुम्मर के काम को संश्लेषित किया और प्रिमिट्स और इरेड्यूसिबल की एकीकृत शब्दावली विकसित की, देखें कि गणित में क्या बदलाव हुए और प्रिम्स की परिभाषा में बदलाव हुआ और 1 को शामिल किया गया? एक अधिक ठोस नस में, क्रोनकर ने 1882 में irreducibles के एक उत्पाद में एक तर्कसंगत पूर्णांक बहुपद को पूरी तरह से फैक्टर करने के लिए एक सामान्य एल्गोरिथ्म दिया, डोरवार्ट, पोलिनेम्स की इरेडियूसबिलिटी देखें। स्चोनेमैन-ईसेनस्टीन मानदंड कोनिग्सबर्गर (1895), नेट्टो (1896) बाउर और पेरोन (1905) द्वारा विस्तारित किया गया था। डुमास ने सुर क्वेल्स कैस डीरेडेक्टिबिलाइट देस पॉलिनेम्स में एक गुणांक राशनलाइन (1906) में irreducibility का अध्ययन करने के लिए अब लोकप्रिय न्यूटन बहुभुज विधि विकसित की , जो बोनसिओकैट द्वारा Schönemann-Eisenstein-Dumas-type irreducibility की स्थिति देखते हैं ।