का एक संख्यात्मक असमानता का बेहतर सबूत $e^x$
असमानता है
$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$
मैंने इसे 3 मामलों में विभाजित करके साबित किया: $-3<z<0$, $z=0$ तथा $0<z<3$।
के लिये $z=0$, दोनों पक्ष बराबर हैं।
अन्य 2 मामले पथरी के साथ किए गए हैं। परिभाषित$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ और फिर बदलें $|x|$ द्वारा द्वारा $x$ या $-x$अनुरूप होना। फिर सिर्फ डेरिवेटिव की जांच करें।
लेकिन मेरी राय में, यह क्रूर बल की तरह है, इसलिए मैं सोच रहा हूं कि क्या इसे दिखाने के लिए तेज (चालाक) तरीका है।
जवाब
ध्यान दें, यदि $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}