कैसे (ए) = 0 का मतलब है कि समाधान अद्वितीय नहीं है? [डुप्लीकेट]

Question

मैट्रिक्स समीकरण का हल Ax = b, जहाँ $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

अद्वितीय नहीं है, अगर वैक्टर $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$रैखिक रूप से निर्भर हैं। फिर निर्धारक के गुणों द्वारा,$$ \det A=0. $$हालाँकि, क्या यह हमेशा अनुसरण करता है, कि यदि A = 0 का पता लगाते हैं, तो A के कॉलम वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं? क्या कोई प्रमाण प्रस्तुत कर सकता है?

Answer 1

एक संभावित प्रमाण:

• मान लीजिए कि स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
• अंतिम कॉलम से शुरू होकर पीछे की ओर काम करते हुए मैट्रिक्स को एक कॉलम इक्वेलन रूप में परिवर्तित करें।
• आप जानते हैं कि रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों की संख्या आपके द्वारा समाप्त होने वाले नॉनज़ेरो कॉलमों की संख्या है। हालाँकि, जैसा कि आपने मान लिया है कि कॉलम स्वतंत्र हैं, कोई शून्य कॉलम नहीं हैं।
• दूसरे शब्दों में, आपने विकर्ण पर सभी गैर-अक्षीय तत्वों के साथ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ समाप्त किया है। इसका निर्धारक नॉनजरो है।
• हालाँकि, मैट्रिक्स को हम एक पंक्ति / स्तंभ में रूप में परिवर्तित करते समय उपयोग करते हैं, जो इकोनॉन रूप में विकर्ण की संपत्ति को शून्य या नॉनज़रो नहीं बदलता है।
• इस प्रकार, निर्धारक को शुरू करने के लिए नॉनज़रो था।

Answer 2

अगर पहला कॉलम सब है $0$स्पष्ट है। अन्यथा, पहले तत्व के साथ एक पंक्ति पर विचार करें$\ne 0$। इसकी अनुमति दें ताकि यह पहली पंक्ति बन जाए। निर्धारक अभी भी है$0$, सिस्टम पिछले के बराबर है। अब पहले कॉलम के सभी तत्वों को कम करें, पहली पंक्ति से कम। निर्धारक अभी भी$0$, प्रणाली अभी भी बराबर है। अब, पहली पंक्ति और कॉलम को हटाकर गठित मैट्रिक्स को देखें। निर्धारक है$0$। इंडक्शन लागू करें, एक गैर-शून्य समाधान ढूंढें$(x_2, \ldots, x_n)$। अब प्राप्त करने के लिए मूल पहले समीकरण का उपयोग करें$x_1$। अब हमारे पास पूरी प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान है।